Уравнения, содержащие знак модуля

Уравнения, содержащие знак модуля, можно условно классифицировать по видам, в зависимости от расположения знака модуля. Рассмотрим некоторые виды таких уравнений и методы их решения.

1. Уравнения вида . Наиболее рациональный путь решения – переход к совокупности

1. Уравнения вида можно двумя способами заменить равносильными условиями: 1)

2)

Выбор способа замены зависит от того, какое из неравенств или решить легче.

1. Уравнения вида . Их решение состоит в возведении обеих частей уравнения в квадрат, так как по свойству модуля . Тогда

1. Уравнения вида . Уравнения этого вида можно решать, используя замену .

Пример. Решить уравнение

Решение: Исходное уравнение равносильно совокупности:

Решая эти уравнения, получим корни .

Ответ: .

Пример. Решить уравнение

Решение: Данное уравнение равносильно системе:

.

Решая эти уравнения, получим корни . Выберем из них те, которые удовлетворяют условию .

Ответ: .

Пример. Решить уравнение

Решение: Поскольку в уравнении функция, стоящая под знаком модуля, проще, то лучше записать уравнение, как совокупность двух систем:

.

Уравнение из первой системы совокупности корней не имеет. Решая уравнение, находим, что

Ответ:

Пример. Решить уравнение

Решение: Возведем обе части уравнения в квадрат:

Ответ:

Пример. Решить уравнение

Решение: Так как , данное уравнение примет вид:

Сделаем замену: получим новое уравнение: , которое имеет два положительных корня . Значит, , откуда .

Ответ:

Дополнительные задачи:

1. Решите уравнение .

Решение: .

Дата добавления: 2014-01-15