Свойства произведения

СВОЙСТВА ПРОИЗВЕДЕНИЯ НА ЧИСЛО

CВОЙСТВА СЛОЖЕНИЯ

ОСНОВНЫЕ ОПЕРАЦИИ НАД МАТРИЦАМИ

Лекция 2. Понятие матрицы. Основные операции над матрицами. Собственные числа и собственные векторы матрицы.

Определение. Матрицей называется прямоугольная таблица из m строк и n столбцов элементов некоторого множества.

m n - порядок матрицы. Если m=n, то матрица называется квадратной, m n – прямоугольной. Обозначается:

A = или A =, или A =

Коротко А = (i = j =), числа - элементы матрицы.

() - матрица строка; - матрица столбец.

Если m = n, то матрица называется квадратной, если m ≠ n, то матрица прямоугольная.

Определение. Определитель, составленный из элементов квадратной матрицы называется определителем матрицы.

Если матрица

A =, то определитель =

Если ≠ 0, то матрица называется невырожденной; если = 0,то матрица называется вырожденной.

A = – нуль матрица. E = - единичная диагональная матрица.

Порядок матрицы обозначается так: m n, где m – количество строк, а n - количество столбцов.

Определение. Две матрицы A и B называются равными (A = B), если они имеют одинаковое число строк и столбцов и их соответствующие элементы совпадают.

=; ≠; (1 2 3) ≠.

1). Суммой 2-х матриц A = и B = (i =; j=) называется матрица C =, (i =; j =),того же порядка, где = +,т.е. С=A+B.

Если

A = и B =, то С = или

+ =

а). А + В = В + А.

б). (А+ В) +С = А + (В + С).

2). Умножение матрицы на число.

Определение. Произведением матрицы А = (i =; j =) на вещественное число называется матрица С = (i=; j =), т.е.

С = А. Пусть матрица

А =, тогда матрица А =.

а). А = (А).

б). (А + В) = А + В.

в). (+) А = А + В.

г). 0 А = 0

д). С = А-В это С = А + (-1)В.

3). Умножение матриц.

А = и B = C = A∙B =

Определение. Произведением матрицы А =, (i = j =) на матрицу В = (i =; j =) называется матрица С =, (i =),

имеющая порядок m p, элементы определяются формулой

i = 1,2, m; j = 1,2, p. С = А ∙ В (1)

= = + +

Вывод. Матрицу А можно умножить на матрицу В, если число столбцов матрицы А равно числу строк матрицы В и получается матрица, у которой, столько строк сколько их имеет матрица - множимое и столько столбцов, сколько их имеет матрица - множитель.

Пример. Перемножить матрицы.

Решение. =

а). А∙В ≠ В ∙ А.

б). А (ВС) = (АВ)С.

в). (А + В)С = АС + ВС.

ОБРАТНАЯ МАТРИЦА.

Определение. Матрица, у которой строки заменены столбцами, называется транспонированной по отношению к первой матрице.

А ==

Определение. Матрица, составленная из алгебраических дополнений к элементам матрицы называется присоединённой к матрице А или взаимной.

Определение. Обратной матрицей к квадратной матрице А называется матрица, удовлетворяющая условию

Элементами обратной матрицы являются алгебраические дополнения элементов присоединённой матрицы, делённые на число, равное определителю матрицы А, т. е. det A =

==.

Изэтой формулы следует, что обратную матрицу имеет только невырожденная матрица.

Пример. Найти обратную матрицу для матрицы A =

Решение. Вычислим сначала определитель матрицы А.

= 4+0+0 – 0 -1 – 12 = - 9, определитель матрицы не равен нулю, поэтому матрица А имеет обратную. Находим алгебраические дополнения.

= 3 = - 4 = 2

=-6 = 2 = - 1 =.

= 3 = - 1 = -4

Чтобы проверить вычисления, найдём А.

А = = = Е.

Дата добавления: 2014-01-15