До в общее уравнение прямой подставить координаты точки , взять по абсо-

Вывод. Чтобы найти расстояние от точки до прямой, на-

Уравнения плоскости

Лекция 10. Расстояние от точки до прямой. Различные виды

Дикулярности двух прямых

Угол между двумя прямыми. Условия параллельности, перпен-

Уравнение прямой с угловым коэффициентом.

Уравнение прямой, проходящей через две точки

Уравнение прямой в отрезках.

Запишем общее уравнение прямой Ax+By+C=0 Ax+By=-C, разделим обе части на -С, получим + =1, обозначим =, = b. уравнение прямой в отрезках, α и b → отрезки, отсекаемые прямой от осей координат соответственно оx, оy. _y

_{0 x}

Пример. Привести уравнение прямой 3x+5y+20= 0 к уравнению в отрезках.

Решение. Перенесём 20 вправо и разделим обе части на -20, получим:

или =1, α=, b=.

Ответ. =1.

Каноническое уравнение прямой. Параметрические уравнения.

Определение. Вектор коллинеарный прямой, называется направляющим вектором прямой

_y

M; M(x,y);;

_x

^L поэтому каноническое

уравнение прямой.

Если то прямая параллельна оси оy. Если m=0, то прямая параллельна оси оx.

Обозначим параметрические уравнения прямой.

_y

_{0 x};,m); пусть

, тогда уравнение прямой, проходящей через две точки

_y ⁰

k=tg, = +.

= {, }. =, m=.

^{0 x}, подставим вместо и m

, но =. Получим = (x- = y- или tg (x - = y -, окончательно уравнение прямой с угловым коэффициентом, проходящей через одну точку. Часто это уравнение называют уравнением пучка прямых. Раскроем в последнем

уравнении скобки y = kx + (- Выражение в скобках обозначим через

b, это постоянное число, получим:

это уравнение прямой с угловым коэффициентом, где b отрезок, который прямая отсекает от осей координат.

. Пусть две прямые и заданы общими уравнениями.

и; {; {

Если ║, то и → условие параллельности.

Если, то, это значит → условие перпендикулярности.

. Пусть две прямые и заданы каноническими уравнениями.

= и =,,, то

=

Условие параллельности. Условие перпендикулярности

. Прямые и заданы уравнениями с угловым коэффициентом.

^Y Y = и y =

, tg =tg(=

⁰ _x =, так как tg,

37

tg, то.

Если, то tg =0 и tg когда или - условие параллельности прямых.

Если, то tg, поэтому 1+ или - → условие перпендикулярности прямых.

Пример. Получить все виды уравнения прямой, если прямая задана общим уравнением 3x+4y-5=0.

Решение. 1). Уравнение с угловым коэффициентом: 4y=-3x+5 y=-, k=-.

2).Уравнение прямой в отрезках: 3x+ 4y =5 + = 1,, b=.

3).Каноническое уравнение: возьмём 2 произвольные точки на прямой (0,) и вектор {, } является направляющим вектором прямой, каноническое уравнение запишем через точку =.

4). Уравнение прямой через две точки.

Расстояние от точки до прямой

x₀,y₀) Пусть прямая задана общим уравнением

Ax + By + C = 0, из рисунка видим

= = (+(

, ∙ =; или π

(=. В координатах = А(+B(= A, так как точка, то её координаты удовлетворяют уравнению прямой поэтому А или A, подставим. (= A отсюда находим или

лютной величине и разделить на модуль нормального вектора.

Пример 1. Треугольник задан своими вершинами А(1,2); В(-2,1); С(3,2). Найти длину его высоты, опущенной из вершины А.

Дата добавления: 2014-01-15