Базис. Розкладання вектора по базису

Нехай і не колінеарні вектори (ознака колінеарності: вектор колінеарний не нульовому вектору , тоді і тільки тоді, коли існує таке число , що ).

Відкладемо дані вектори від однієї точки , . Позначимо через площину означену точками . Будь який вектор компланарний векторам і , по означенню паралельній площині . Якщо побудувати вектор , то точка буде належати площині .

Проведемо через точку пряму паралельно прямій . Оскільки і не колінеарні, прямі і перетинаються в деякій точці . Згідно означенню колінеарності векторів знайдеться таке дійсне число , що . Тоді вектор (по аналогії).

(1)

Впорядковано пара неколініарних векторів і називаються базисом в площині .

Всякий вектор , компланарний векторам і , які утворюють базис можна уявити у вигляді (1). Числа і називаються координатами вектора в базисі , а сама рівність (1) – розкладом вектора по базису .

Той факт що числа і є координатами вектора в базисі запишеться так .

Базисом в просторі називається впорядкована трійка некомпланарних векторів.

Аналогічно розкладу на площині можна записати, що

.

Коефіцієнти розкладу вектора по базису називається координатами вектора в базисі . Той факт, що числа , , є координатами вектора в базисі, записується так .

Три одиничних попарно перпендикулярних вектори взятих в обумовленій черзі називають ортонормованим (або прямокутним) базисом в просторі.

Вектори прямокутного базису прийнято позначати Кожний вектор єдиним образом зображується у вигляді

.

Числа , , називають координатами вектора в базисі .

Розглянемо деяку вісь в просторі і нехай – кути які вона утворює в просторі

з осями координат.

Числа , , – називаються напрямними косинусами цієї осі.

Напрямні косинуси зв’язані співвідношенням

.

Сума квадратів напрямних косинусів будь-якої осі дорівнює одиниці.

Дата добавления: 2014-01-11