Пример 4.1

Премия за риск.

Детерминированный эквивалент лотереи.

Детерминированный эквивалент лотереи — это гарантированная сумма X, получение которой эквивалентно участию в лотерее и гарантирует лицу такую самую полезность, как и участие в рискованном деле, т.е.

U(X) = M(U(X)). (4.3)

Лицо, которое принимает решение, называют нерасположенной к риску, когда для нее наиболее приоритетной - возможность получить гарантированно ожидаемый выигрыш в лотерее, чем принять в ней участие.

Из теории полезности можно сделать вывод, что полезность лотереи совпадает с математическим ожиданием полезности ее случайных результатов. Соответственно этому условие несклонности к риску приобретает такой вид:

U(M(x))>M(U(x)), (4.4)

т.е. полезность предполагаемого дохода больше предполагаемой полезности. ЛПР не склонно к риску тогда и только тогда, когда ее функция полезности вогнута.

Для функции полезности можно рассчитать премию за риск лотереи (π(х)) как разность между ожидаемым выигрышем и детерминированным эквивалентом:

π (Х)=М(Х) - х. (4.5)

По физическому содержанию премия за риск (надбавка за риск) — это сумма в единицах измерения показателя X которую субъект управления согласен уступить из среднего выигрыша, во избежание риска, связанного с лотереей, и получить гарантированный доход без риска.

Когда лицо, которое принимает решение, наталкивается на лотерею, менее приоритетную, чем состояние, в котором она в данный момент находится, то стоит вопрос, сколько бы оно заплатило (в единицах измерения критерия X) за свое неучастие в этой лотерее (избежание ее).

Страховая сумма (СС) — это величина детерминированного эквивалента с противоположным знаком:

СС(Х) = X. (4.6)

4.17. Условия склонности, несклонности, равнодушия к риску.

Условие склонности к риску приобретает такой вид:

U(M(x))<M(U(x)), (4.7)

т.е. полезность ожидаемого дохода меньше ожидаемой полезности. Лицо склонно к риску тогда и только тогда, когда функция полезности выпуклая, а график развернут вниз. Премия за риск, в случае склонности к риску показывает, сколько средств инвестор может дополнительно получить или потерять, рискуя.

Условие равнодушия к риску приобретает такой вид:

U(M(x)) = M(U(x)). (4.8)

Лицо равнодушное к риску тогда и только тогда, когда функция полезности линейная, а график - прямая. Премия за риск, в случае равнодушия к риску всегда равняется нулю.

Рассмотрим примеры функций полезности.

Примеры 4.1,4.2, 4.3 приведены в [ 1 ].

1. Возрастающая функция полезности для субъекта управления,
равнодушного к риску: U(x) = a + bx.

2. Возрастающая функция полезности для субъекта управления, не
предрасположенного к риску: U(x) = log(x + b), где х > - b.

3. Возрастающая функция полезности для субъекта управления,
предрасположенного к риску: U(x) = х², где х > = 0.

В теории рынка ценных бумаг широко используется квадратичная функция полезности вида:

U(x) = х - А(x - M(x))²,(4.9)

где А — заданное число.

Содержание этой функции такое: инвестор считает полезным для себя увеличить значение эффективности, но желает избегнуть отклонения этой эффективности от ожидаемого значения. Чем больше А, тем больше тенденция предотвращения риска, т.е. А — мера несклонности к риску, а 1 /А — мера склонности к риску.

С помощью функции полезности можно рассчитывать вероятность банкротства:

U(X) = 1, если Х + К>0,

или 0, если Х + К<0,

где К — начальный капитал.

Дата добавления: 2014-01-15