Лінійні неоднорідні диференціальні рівняння другого порядку. Теорема про структуру загального розв’язку диференціальні рівняння другого порядку

2 Лінійні неоднорідні диференціальні рівняння другого порядку зі сталими коефіцієнтами (І випадок).

3 Лінійні неоднорідні диференціальні рівняння другого порядку зі сталими коефіцієнтами (ІІ випадок і зауваження).

Структура загального розвязку лінійного неоднорідного диференціального рівняння другого порядку.

Розглянемо неоднорідне лінійне диференціальне рівняння другого порядку

(1)

де - неперервні функції.

Разом з цим рівнянням розглянемо рівняння

(2)

яке є однорідним рівнянням неоднорідного рівняння (1).

Теорема Загальний розв’язок неоднорідного рівняння (1) складається із суми двох розв’язків (3)

де - загальний розв’язок відповідного однорідного рівняння(2):

,- який-небудь частковий розв’язок неоднорідного диференціального рівняння (1).(Без доведення)

Лінійні неоднорідні диференціальні рівняння другого порядку зі сталими коефіцієнтами:

(4)

де , f(x) - неперервна функція. Рівняння (4) являє собою математичну модель вимушених коливань.

Загальний розв’язок (4) складається із суми двох розв’язків: отриманий із диференціального рівняння і - частковий розв’язок диференціального рівняння (4).

Займемая методами знаходження .

Виявляється, що якщо права частина рівняння (4) має спеціальний вигляд, то початковий розв’язок можна також знайти алгебраїчним шляхом без інтеграла, методом невизначених коефіцієнтів.

І випадок. тобто , (4^/)

де -многочлен n -ої степені. ,

m - дійсне або комплексне число.

Диференціальне рівняння (4^/) описує вимушені коливання, а число m характеризує частоту вимушених коливань.

При знаходженні часткового розв’язку диференціальне рівняння (4^/) можуть представитися такі три випадки:

а) нехай число m не є коренем характеристичного рівняння, тобто

Частота власних коливань не співпадає з частотою вимушених коливань.

Тоді частковий розв’язок (4^/) шукають в такому ж вигляді як права частина

(5),

де

- -многочлен з невизначеними коефіцієнтами. Підставимо розв’язок (5) в диференціальне рівняння (4^/).

, .

Використавши і скоротив на , отримаємо

.Оскільки m - не є коренем характеристичного рівняння,то в (6) зліва стоїть многочлен n -ої степені з невідомими коефіцієнтами, а справа з відомими коефіцієнтами.

Якщо (5) є розв’язком диференціального рівняння (4^/), то (6) –тотожність.

Порівнюючи коефіцієнти зліва і справа при однакових степенях х отримаємо систему (n+1) рівняння з (n+1) невідомим В₀,В₁,....В_n.Знайдені коефіцієнти підставляємо в (5) і отримуємо шуканий розв’язок.

б) нехай число m - корінь характеристичного рівняння (співпадає з одним із коренів)

,

Отже частота власних коливань співпадає з частотою вимушених коливань, маємо резонанс.

Якщо шукати розв’язок у вигляді (5), то в (6) зліва буде стояти многочлен степені.Щоб зліва в (6) стояв многочлен n -ої степені, треба збільшити степінь многочлена на одиницю, тобто помножити на

(7)

в) Нехай число m- є двухкратним коренем характеристичного рівняння

,

подвійний резонанс.

Якщо шукати розв’язок у вигляді (5), то в (6) зліва буде стояти многочлен n -2-степені, тому розв’язок буде мати вигляд

(8)

Приклад 1.

Розв’язання.

Загальний розв’язок (за теоремою 5), y^//-y=0.

Дата добавления: 2014-01-11