Распределение размахов

Несмотря на то, что не существует простой формулы для вычисления как ожидаемого среднего размаха R, так и для стандартного отклонения размаха s _R, статистическая теория дает отношение этих величин к стандартному отклонению s для нормальной генеральной совокупности. Теория также полностью определяет ожидаемое распределение R выборок из нормальной генеральной совокупности.

Когда 3-сигма пределы вычисляются по наблюдаемому R, они равны:

Когда пределы основаны на известном или предполагаемом значении стандартного отклонения s, они равны

В этих формулах множитель d₂ численно выражает ожидаемое значение , а множитель d₃ выражает стандартное отклонение этой взаимосвязи. Значения d₂ и d₃ берутся из таблицы 8.6. Множители, необходимые для вычисления контрольных пределов, содержатся в таблицах 8.7 и 8.9.

8.5.6 Модификация множителя d₂ для малого числа выборок

При оценке s по используется дробь . При использовании множителя d₂ математическая теория предполагает, что выборки производятся из нормальной генеральной совокупности. Множитель d₂ зависит от размера выборок. Например, он равен 2.326 для выборок размером 5.

Строго говоря, обоснованное применение точного значения множителя d₂ предполагает что размахи усреднены по достаточно хорошему количеству выборок, скажем, 20 или больше. В случае, когда доступно небольшое количество выборок, наилучшая оценка s получается при использовании множителя, который обычно обозначается как . Таблица 8.5 показывает зависимость этого множителя от числа выборок для случая, когда размер выборок равен 5.

Таблица 8.5 - Отношение ожидаемого к s в усредненных размахах
для различных размеров выборок по 5 из нормальной генеральной совокупности

Число выборок по 5		Число выборок по 5
	2.474		2.346
	2.405		2.342
	2.379		2.339
	2.358		2.334
	2.353	бесконечность	2.326

Обычно при построении контрольных карт для контроля качества в промышленности для практических целей больше подходят множители, основанные на d₂, а не на . Однако в некоторых других статистических приложениях желательно использовать .

Таблица 8.6 - Множители для оценки s по , или и по

Число наблюдений в выборке, n	Множитель d2,	Множитель d3,	Множитель c2,	Множитель c4,
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 90 95 100	1.128 1.693 2.059 2.326 2.534 2.704 2.847 2.970 3.078 3.173 3.258 3.336 3.407 3.472 3.532 3.588 3.640 3.689 3.735 3.778 3.819 3.858 3.895 3.931 4.086 4.213 4.322 4.415 4.498 4.572 4.639 4.699 4.755 4.806 4.854 4.898 4.939 4.978 5.015	0.8525 0.8884 0.8798 0.8641 0.8480 0.8332 0.8198 0.8078 0.7971 0.7873 0.7785 0.7704 0.7630 0.7562 0.7499 0.7441 0.7386 0.7335 0.7287 0.7242 0.7199 0.7159 0.7121 0.7084 0.6926 0.6799 0.6692 0.6601 0.6521 0.6452 0.6389 0.6337 0.6283 0.6236 0.6194 0.6154 0.6118 0.6084 0.6052	0.5642 0.7236 0.7979 0.8407 0.8686 0.8882 0.9027 0.9139 0.9227 0.9300 0.9359 0.9410 0.9453 0.9490 0.9523 0.9551 0.9576 0.9599 0.9619 0.9638 0.9655 0.9670 0.9684 0.9696 0.9748 0.9784 0.9811 0.9832 0.9849 0.9863 0.9874 0.9884 0.9892 0.9900 0.9906 0.9912 0.9916 0.9921 0.9925	0.7979 0.8862 0.9213 0.9400 0.9515 0.9594 0.9650 0.9693 0.9727 0.9754 0.9776 0.9794 0.9810 0.9823 0.9835 0.9845 0.9854 0.9862 0.9869 0.9876 0.9882 0.9887 0.9892 0.9896 0.9914 0.9927 0.9936 0.9943 0.9949 0.9954 0.9958 0.9961 0.9964 0.9966 0.9968 0.9970 0.9972 0.9973 0.9975

Таблица 8.7 - Множители для определения по контрольных пределов 3-сигма для и R карт

Число наблюдений в выборке, n	Множитель для -карты, A 2	Множители для R карт
НКП D 3	ВКП D 4
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20	1.88 1.02 0.73 0.58 0.48 0.42 0.37 0.34 0.31 0.29 0.27 0.25 0.24 0.22 0.21 0.20 0.19 0.19 0.18	0 0 0 0 0 0.08 0.14 0.18 0.22 0.26 0.28 0.31 0.33 0.35 0.36 0.38 0.39 0.40 0.41	3.27 2.57 2.28 2.11 2.00 1.92 1.86 1.82 1.78 1.74 1.72 1.69 1.67 1.65 1.64 1.62 1.61 1.60 1.59

Примечание. Все множители вычислены при предположении о нормальности генеральной совокупности.
Верхний контрольный предел для

Нижний контрольный предел для

Верхний контрольный предел для

Нижний контрольный предел для

Таблица 8.8 - Множители для определения по и
контрольных пределов 3-сигма для и s или s _rms карт

(Все множители в таблице основаны на нормальном распределении)

Число наблюдений в выборке, N	Множитель для -карты с использованием A 1	Множитель для -карты с использованием A 3	Множители для s и s rms карт
НКП B 3	ВКП B 4
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 90 95 100	3.76 2.39 1.88 1.60 1.41 1.28 1.17 1.09 1.03 0.97 0.93 0.88 0.85 0.82 0.79 0.76 0.74 0.72 0.70 0.68 0.66 0.65 0.63 0.62 0.56 0.52 0.48 0.45 0.43 0.41 0.39 0.38 0.36 0.35 0.34 0.33 0.32 0.31 0.30	2.66 1.95 1.63 1.43 1.29 1.18 1.10 1.03 0.98 0.93 0.89 0.85 0.82 0.79 0.76 0.74 0.72 0.70 0.68 0.66 0.65 0.63 0.62 0.61 0.55 0.51 0.48 0.45 0.43 0.41 0.39 0.37 0.36 0.35 0.34 0.33 0.32 0.31 0.30	0 0 0 0 0.03 0.12 0.19 0.24 0.28 0.32 0.35 0.38 0.41 0.43 0.45 0.47 0.48 0.50 0.51 0.52 0.53 0.54 0.55 0.56 0.60 0.63 0.66 0.68 0.70 0.71 0.72 0.73 0.74 0.75 0.76 0.77 0.77 0.78 0.79	3.27 2.57 2.27 2.09 1.97 1.88 1.81 1.76 1.72 1.68 1.65 1.62 1.59 1.57 1.55 1.53 1.52 1.50 1.49 1.48 1.47 1.46 1.45 1.44 1.40 1.37 1.34 1.32 1.30 1.29 1.28 1.27 1.26 1.25 1.24 1.23 1.23 1.22 1.21

Верхний контрольный предел для

Нижний контрольный предел для

Верхний контрольный предел для s и

Нижний контрольный предел для s и .

Таблица 8.9 - Множители для определения по s
контрольных пределов 3-сигма для , R, s или s _rms карт

(Все множители в таблице основаны на нормальном распределении)

Число наблюдений в выборке, n	Множители для -карт, A	Множители для R карт	Множители для s rms карт	Множители для s карт
НКП D 1	ВКП D 2	НКП B 1	ВКП B 2	НКП B 5	ВКП B 6
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 90 95 100	2.12 1.73 1.50 1.34 1.22 1.13 1.06 1.00 0.95 0.90 0.87 0.83 0.80 0.77 0.75 0.73 0.71 0.69 0.67 0.65 0.64 0.63 0.61 0.60 0.55 0.51 0.47 0.45 0.42 0.40 0.39 0.37 0.36 0.35 0.34 0.33 0.32 0.31 0.30	0 0 0 0 0 0.20 0.39 0.55 0.69 0.81 0.92 1.03 1.12 1.21 1.28 1.36 1.43 1.49 1.55	3.69 4.36 4.70 4.92 5.08 5.20 5.31 5.39 5.47 5.53 5.59 5.65 5.69 5.74 5.78 5.82 5.85 5.89 5.92	0 0 0 0 0.03 0.10 0.17 0.22 0.26 0.30 0.33 0.36 0.38 0.41 0.43 0.44 0.46 0.48 0.49 0.50 0.52 0.53 0.54 0.55 0.59 0.62 0.65 0.67 0.68 0.70 0.71 0.72 0.74 0.75 0.75 0.76 0.77 0.77 0.78	1.84 1.86 1.81 1.76 1.71 1.67 1.64 1.61 1.58 1.56 1.54 1.52 1.51 1.49 1.48 1.47 1.45 1.44 1.43 1.42 1.41 1.41 1.40 1.39 1.36 1.33 1.31 1.30 1.28 1.27 1.26 1.25 1.24 1.23 1.23 1.22 1.22 1.21 1.20	0 0 0 0 0.03 0.11 0.18 0.23 0.28 0.31 0.35 0.37 0.40 0.42 0.44 0.46 0.48 0.49 0.50 0.52 0.53 0.54 0.55 0.56 0.60 0.63 0.66 0.68 0.69 0.71 0.72 0.73 0.74 0.75 0.76 0.77 0.77 0.78 0.78	2.61 2.28 2.09 1.96 1.87 1.81 1.75 1.71 1.67 1.64 1.61 1.59 1.56 1.54 1.53 1.51 1.50 1.48 1.47 1.46 1.45 1.44 1.43 1.42 1.38 1.36 1.33 1.31 1.30 1.28 1.27 1.26 1.25 1.24 1.24 1.23 1.22 1.22 1.21

Дата добавления: 2014-01-15