Преобразование Абеля

Локальные и хордовые измерения.

Окна

Лекция 7

Тема: Методика и техника спектроскопических измерений

1. Состав и структура спектроизмерительной установки.

Необходимость спектральных измерений обычно бывает ясна уже при проектировании плазменной установки. Поэтому в проект закладываются окна для наблюдения излучения плазмы, внутренние зеркала и призмы для исследования излучения труднодоступных мест.

Необходимость в диагностиках столь велика, что внешне плазменная установка выглядит так, как будто она состоит из одних только патрубков с окнами.

Примеры: ИТЭР, токамак Т-10, лазерный эксперимент.

Окна чаще всего делаются из плавленого кварца. Его полоса пропускания начинается с 180 нм и тянется в инфракрасную область до ~ 2,6 мкм (КУ-1). Область прозрачности обычного оптического стекла начинается с 320 – 350 нм. Для измерений в УФ области до 100- 120 нм можно использовать окна из кристаллов MgF2, KF2. Дальше простирается область вакуумного УФ и мягкого рентгена, где подходящих материалов для окон нет, и приходится объединять вакуумные системы прибора и установки. Как правило, спектральный прибор имеет собственную систему откачки и соединяется с установкой через вакуумный шлюз.

Для понимания поведения плазмы необходимы, как правило, локальные значения параметров плазмы. Но прямые измерения локальных параметров бывают очень редко.

Для этого используются дополнительные средства воздействия на плазму – лазерное излучение, пучки нейтралов для возбуждения, или гашения свечения и т.п. Область локализации измерений задается в этом случае пересечением лазерного, или атомного пучка с линией наблюдения.

При пассивной спектроскопии обычно применяются хордовые измерения, когда наблюдаемый сигнал интегрируется вдоль линии наблюдения. При этом надо контролировать паразитный свет, рассеянный на попадающих в поле зрения участках стенки. Лучше, если напротив входного окна расположено также окно, или специально почерненная стенка камеры.

Для вычисления локальных параметров по хордовым измерениям применяется томография. Для уменьшения числа хорд и уравнений используется симметрия. Иногда можно обойтись и без томографии, если измеряемая линия светит только из локальной области. Эта область может выделяться, например, максимальной температурой.

Выдающийся норвежский математик Нильс Генрик Абель родился 5 августа 1802 года. Умер в 1829 году в нищете, хотя того, что он сделал в математике, хватило бы на несколько нобелевских премий. Все его работы опубликованы только после смерти.

В случае цилиндрической, или эллиптической симметрии плазмы система уравнений для хордовой яркости приводит к уравнению Абеля:

(1)

Здесь неявно предполагается F(a) = 0 и

Абель нашел решение этого интегрального уравнения в виде:

(2)

При применении в эксперименте здесь возникают две проблемы. Во-первых, подинтегральная функция при x = r расходится. Во-вторых, операция дифференцирования по экспериментальным данным некорректна.

Первая трудность преодолевается легко: интеграл заменяется суммой с конечным шагом h по х. При этом полагается x = r + h(i+1/2).

Со второй трудностью справиться куда сложнее. Существует обширная литература по численному решению некорректно поставленных задач.. Превосходный обзор можно найти в книге Н.Г.Преображенского и В.В.Пикалова " Неустойчивые задачи диагностики плазмы" (1982). Экспериментаторы чаще всего применяют 2 метода – разложение в ряд с ограниченным числом членов, или стабилизатор Тихонова. Оба метода по существу используют дополнительную информацию о свойствах решения и ограничивают спектр со стороны высоких частот. Проблема состоит в произволе выбора этого ограничения.

Пример: Линия На. I = 13.6 eV, Te(0) >> I.

При ограничении ряда степенью 2 получится парабола. А на самом деле распределение имеет максимум на краю. В то же время при увеличении степени в середине появятся колебания, которых нет.

Метод Тихонова значительно лучше. В системе уравнений для определения F(r) по методу наименьших квадратов добавляем член, пропорциональный квадрату m-той производной с коэффициентом a

(3)

Практически достаточно выбрать m = 2. При поиске минимума S этот член подавит решения с сильными колебаниями. При слишком большом значении a происходит заглаживание решения. Но обычно существует интервал значений стабилизатора a,

в котором решение от a не зависит. Это и есть правильное решение.

Дата добавления: 2014-01-20