Производную порядка k от многочлена f(x) обозначим . При k=0 под будем понимать исходный многочлен.
Лемма 2.1
.
Доказательство проведём индукцией по j. При j=1 получаем формулу дифференцирования произведения. Пусть формула верна для j-1. Покажем её справедливость для j. Имеют место равенства. Взяв производную от каждого слагаемого, приведя подобные, получим требуемое равенство.
Следствие 2.7 Условие при i=0,…,k-1 и равносильно тому, что - корень f(x) кратности k.
Доказательство. Пусть - корень f(x) кратности k, тогда , причём . Производная порядка i равна . Подставив получим равенства при i=0,…,k-1 и . Обратно, разложим f(x) по степеням , т.е. . Легко проверить и значит - корень f(x) кратности k.
Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет
studopedia.su - Студопедия (2013 - 2024) год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав!Последнее добавление