Формула Бине-Кощи

Теорема 5.2 (Бине-Коши).. Пусть A матрица размерами m*n, а B матрица размерами n*m (n больше либо равно n). Справедливо равенство , где - матрица, образованная столбцами матрицы A с номерами , а - матрица, образованная строками матрицы B с номерами .

Доказательство. Пусть C=AB. По определению определителя . Выразим элементы C через элементы A и B, получим . Перемножим все суммы придем к выражению . Поменяем порядок суммирования, поставив сумму по перестановкам на последнее место. Вынесем за знак суммы сомножители не зависящие от f получим . Сумма есть определитель матрицы , следовательно, . Определитель, содержащий одинаковые строки равен 0, поэтому исключив из последней суммы слагаемые с одинаковыми номерами строк, придем к выражению . Для упорядочивания строк матрицы потребуется перестановок соседних строк (см.Теорема 4.1), следовательно, и . Вынесем за знак последней суммы множители не зависящие от f . Сумма есть определитель матрицы , следовательно, , что и требовалось.

Следствие 5.4. Пусть A и B квадратные матрицы порядка n. Тогда определитель произведения равен произведению определителей .

Дата добавления: 2014-01-20