Функция одного случайного аргумента и ее распределение

Предварительно заметим, что далее, вместо того чтобы говорить «закон распределения вероятностей», будем часто говорить кратко – «распределение».

Если каждому возможному значению случайной величины X соответствует одно возможное значение случайной величины Y, то Y называют функцией случайного аргумента X:

Y = j(X).

Далее показано, как найти распределение функции по известному распределению дискретного и непрерывного аргумента.

1. Пусть аргумент X – дискретная случайная величина.

а) Если различным возможным значениям аргумента X соответствуют различные возможные значения функции Y, то вероятности соответствующих значений X и Y между собой равны.

Пример 1. Дискретная случайная величина X задана распределением

X
p	0,6	0,4

Найти распределение функции Y = X ².

Решение. Найдем возможные значения Y: у ₁ = 2² = 4; у ₂ = 3² = 9. Напишем искомое распределение Y:

Y
p	0,6	0,4

б) Если различным возможным значениям X соответствуют значения Y, среди которых есть равные между собой, то следует складывать вероятности повторяющихся значений Y.

Пример 2. Дискретная случайная величина X задана распределением

X	- 2
p	0,4	0,5	0,1

Найти распределение функции Y = X ².

Решение. Вероятность возможного значения у ₁ = 4 равна сумме вероятностей несовместых событий Х = - 2, Х = 2, т.е. 0,4 + 0,5= 0,9. Вероятность возможного значения у ₂ = 9 равна 0,1. Напишем искомое распределение Y:

Y
p	0,9	0,1

2. Пусть аргумент X – непрерывная случайная величина. Как найти распределение функции Y = j(X), зная плотность распределения случайного аргумента X? Доказано: если y = j(X) – дифференцируемая строго возрастающая или строго убывающая функция, обратная функция которой х = y(у), то плотность распределения g (y) случайной величины Y находится с помощью равенства

. (11.7)

Пример 3. Случайная величина X распределена нормально, причем ее математическое ожидание а = 0. Найти распределение функции Y = Х ³.

Решение. Так как функция y = x ³ дифференцируема и строго возрастает, то можно применить формулу (11.7). Найдем функцию, обратную функции y = x ³:

.

Найдем . По условию,

.

поэтому

. (11.8)

Найдем производную обратной функции по у:

. (11.9)

Найдем искомую плотность распределения, для чего подставим (11.) и (11.9) в (11.7):

.

Замечание. Пользуясь формулой (11.7), можно доказать, что линейная функция Y = АХ + В нормально распределенного аргумента X также распределена нормально, причем для того чтобы найти математическое ожидание Y, надо в выражение функции подставить вместо аргумента X его математическое ожидание а:

М (Y) = Aa + B;

для того чтобы найти среднее квадратическое отклонение Y, надо среднее квадратическое отклонение аргумента X умножить на модуль коэффициента при X:

s(Y) = | A | s(X).

Пример 4. Найти плотность распределения линейной функции Y = 3 Х + 1, если аргумент распределен нормально, причем математическое ожидание X равно 2 и среднее квадратическое отклонение равно 0,5.

Решение. Найдем математическое ожидание Y:

М (Y) = 3×2 + 1 = 7.

Найдем среднее квадратическое отклонение Y:

s(Y) = 3×0,5 = 1,5.

Искомая плотность распределения имеет вид

.

Дата добавления: 2014-01-20