Результат измерения. Доверительный интервал

Задачей эксперимента является нахождение истинного значения x ₀ физической величины, которое может быть найдено, если имеется генеральная совокупность всех значений искомой величины Х. Однако, в связи с тем, что количество наблюдений в выборке конечно, в опыте находят некоторое приближенное к x ₀ значение , называемое оценкой истинного значения, и указывают интервал, в который истинное значение x ₀ попадает с заданной вероятностью P. Этот интервал называют доверительным интервалом, а вероятность Р – доверительной вероятностью.

В качестве оценки истинного значения согласно (4.2) выбирают среднее арифметическое результатов наблюдений в выборке

, (4.7)

которое называют выборочным средним. Среднее также является случайной величиной, и если повторить опыт по его нахождению несколько раз, то получим выборку средних X: , ,..., , которые также будут отличаться друг от друга случайным образом, однако разброс средних значений будет заметно меньше разброса результатов отдельных наблюдений в каждой выборке.

Для нахождения доверительного интервала необходимо знать распределение средних значений около x ₀. Зная вид , можно построить интервал, в который истинное значение x ₀ попадает с вероятностью Р. Для этого на оси абсцисс (рис. 4.5) находят точки x ₁ и x ₂ такие, чтобы площади под графиком слева от x ₁ и справа от x ₂ равнялись бы одной и той же величине . Тогда площадь под графиком в интервале (x ₁, x ₂) будет равна значению вероятности P, и для произвольного полученного в опыте среднего значения можно написать: x ₁ << x ₂ c вероятностью Р:

. (4.8)

Границы интервала можно также записать в виде , . Если распределение симметрично, то . Величину в этом случае называют случайной доверительной погрешностью результата измерения.

Дата добавления: 2014-01-20