Статистические критерии и их применение

Кроме расчета статистических характеристик случайных величин – математического ожидания, дисперсии, среднего квадратического отклонения, одной из основных задач статистического анализа результатов измерений является проверка статистических гипотез.

Статистическая гипотеза – это некоторое предположение относительно свойств генеральной совокупности случайной величины. Проверка статистической гипотезы заключается в сравнении статистических показателей, определяемых по выборке, со значениями этих же показателей, определенных теоретически для какой-либо гипотезы (например, для гипотезы о нормальном законе распределения).

При проверке статистических гипотез задаются уровнем значимости , где – доверительная вероятность выполнения гипотезы. Наиболее часто на практике используют значения , равные и , причем меньшие значения соответствуют результатам измерений, полученным с более высокой вероятностью. Сравнивая некоторое значение случайной величины (статистического критерия), вычисленное по выборке, с табличным значением этого же параметра, можно сделать вывод о том, может ли быть принята данная гипотеза или она должна быть отвергнута. Вероятность принятия гипотезы будет соответствовать заданному уровню значимости. Например, при вероятность того, что предполагаемая гипотеза является верной, составляет . При этом, однако, в двух случаях из ста можно совершить ошибку и отвергнуть гипотезу, которая на самом деле может быть верной.

Критерий Фишера – (-критерий) используется при проверке однородности двух выборочных дисперсий (воспроизводимости результатов измерений). Он представляет собой отношение большей выборочной дисперсии к меньшей :

.

Если (– табличное значение критерия Фишера), то дисперсии и могут быть отнесены к одной генеральной совокупности и расхождение между ними можно принять случайными. При дисперсии и значимо отличаются одна от другой, и гипотеза об их однородности отвергается. Табличное значение критерия Фишера для заданного уровня значимости и числа степеней свободы (– объем выборки) приводится в литературе. Для и различных значения даны в приложении.

В том случае, когда сравниваются несколько дисперсий, причем одна из них значительно превышает остальные, используется критерий Кохрена. Он представляет собой отношение максимальной дисперсии к сумме всех дисперсий:

,

где – число серий эксперимента (число дисперсий). Критерий Кохрена может быть использован только в тех случаях, когда во всех точках имеется одинаковое число повторных экспериментов .

При (– табличное значение критерия Кохрена) сравниваемые могут считаться однородными и относятся к одной совокупности, при гипотеза об их однородности отвергается. Табличное значение критерия Кохрена для заданного уровня значимости определяется с учётом числа степеней свободы и . Для численные значения приведены в приложении. Если число измерений в различных сериях неодинаково, то для проверки однородности нескольких дисперсий можно использовать критерий Бартлета.

Критерий Стьюдента (-критерий) чаще всего применяется при построении доверительного интервала для математического ожидания случайной величины. Этот критерий для выборки определяется уравнением

,

где – объем выборки; – среднее квадратическое отклонение.

Табличные значения критерия Стьюдента для различных значений уровня значимости и числа степеней свободы приводятся в приложении. Истинное значение результата измерения для заданной доверительной вероятности находится в пределах доверительного интервала

,

где – средняя квадратическая погрешность нескольких измерений случайной величины в одной и той же точке.

Критерий Стьюдента может использоваться также для определения необходимого числа экспериментов в целях достижения заданной точности, определения грубых погрешностей, проверки условия равенства математического ожидания генеральной совокупности некоторому предполагаемому значению и т. д.

Критерий Пирсона позволяет по известной выборочной дисперсии определить интервал изменения генеральной дисперсии . Доверительные границы для генеральной дисперсии определяются неравенством

,

где , – табличные значения критерия Пирсона для заданных значений уровня значимости и числа степеней свободы.

На практике пользуются также другими статистическими критериями.

Дата добавления: 2014-01-20