КАТЕГОРИИ: Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748) |
Интегрирование тригонометрических функций. Рассмотрим интегралы видаРассмотрим интегралы вида . Такие интегралы могут быть сведены к интегралам от рациональных функций заменой переменной , где Такая замена называется универсальной тригонометрическая подстановкой. В этом случае, Тогда .
Пример 7. Найти Решение: Положим . Тогда, используя выражения через t для dx и sin x, указанные выше, получаем, что искомый интеграл равен
При вычислении интегралов вида
рассмотрим частные случаи: n – нечётное n, m – чётные, . применяют формулы тригонометрии:
При вычислении интегралов вида делают замену , тогда Если интеграл имеет вид , где n, m – чётные, применяют формулу: Пример 8. Вычислить интегралы: а) б) Решение: а) б)
При вычислении
используют формулы
Интегрирование иррациональных выражений При вычислении интегралов, содержащих иррациональные выражения применяют замену переменной. Если , то , где Если то , где Лекция13 Определённый интеграл, его свойства
Пусть на отрезке задана функция y=f(x). Разобьем отрезок на n элементарных отрезков точками . На каждом отрезке разбиения выберем некоторую точку и положим , где . Сумму вида будем называть интегральной суммой для функции y=f(x) на . Очевидно, что интегральная сумма зависит как от способа разбиения отрезка точками , так и от выбора точек на каждом из отрезков разбиения , .
Если существует предел , не зависящий от способа разбиения отрезка и выбора точек , то этот предел будем называть определённым интегралом функции f(x) на отрезке и обозначать символом т.е. Функция f(x) в этом случае называется интегрируемой на отрезке . При этом f(x) называется подынтегральной функцией, f(x)dx – подынтегральным выражением, а числа a и b – пределами интегрирования (a – нижний предел, b – верхний предел), а сумма – интегральной суммой. Теорема. Если функция f(x) непрерывна на отрезке , то она интегрируема на этом отрезке. Свойства определённого интеграла 1. 2. Постоянный множитель можно выносить за знак определённого интеграла: 3. Определённый интеграл от суммы двух функций равен сумме определённых интегралов от этих функций:
4. При перестановке пределов интегрирования определённый интеграл меняет знак на противоположный: 5. Интеграл по отрезку равен сумме интегралов по его частям: где a<c<b. 6. Теорема об оценке интеграла Если для , тогда значения интеграла от этой функции не менее произведения m на длину отрезка и не более произведения M на длину отрезка.
7. Теорема о среднем значении Если f(x) непрерывна на отрезке , то существует такое значение , что f(x0)=fср – среднее значение f на отрезке.
Дата добавления: 2014-01-11; Просмотров: 337; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы! Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет |