Свойства сходящихся числовых рядов

1. Два сходящихся ряда

можно почленно складывать (или вычитать),так что ряд

также сходится, и его сумма S равна, соответственно, S =.

Доказать самостоятельно

2. Если члены сходящегося ряда умножить на один и тотже множитель с, то его сходимость не нарушится (а сумма лишь умножится на с).

Доказать самостоятельно

3. Данное свойство связано с понятием остатка ряда. Если в числовом ряде отбросить первые m членов, то получится ряд:

,

называемый остатком ряда. Если сходится ряд , то сходится и любой из его остатков ; обратно, из сходимости остатка вытекает сходимость исходного ряда.

Иными словами, отбрасывание конечного числа начальных членов ряда или присоединение вначале его нескольких новых членов не отражается на сходимости ряда.

4. Необходимый признак сходимости ряда.

Если ряд сходится, то общий член стремится к нулю, то есть .

Доказательство.

По условию ряд сходится, следовательно . Очевидно, что , тогда .

Отсюда следует достаточный признак расходимости:.

Если , то ряд расходится.

Пример 33 Исследовать сходимость ряда

Решение:

Найдем предел общего члена ряда при

Следовательно, данный ряд расходится.

Дата добавления: 2014-01-11