Решение методом конечных разностей

Разобьем отрезок на часть. Пронумеруем полученные точки разбиения: (рис. 3.2.2).

Введем следующие обозначения: – координаты точек разбиения; – номер точки разбиения ();– длина -го шага при разбиении отрезка на равные части,

(3.2.2)

, при этом , ; (3.2.3)

. (3.2.4)

Рис. 3.2.2. Схема аппроксимации по методу конечных разностей.

Заметим, что предложенная нумерация точек является наиболее удобной для построения разностных формул и алгоритмов численного решения рассматриваемой задачи.

Рассматривая задачу (3.2.1) во внутренних точках разбиения и заменяя вторую производную второй разностью по формуле (3.1.16):

(3.2.5)

получим:

, (3.2.6)

Для граничных точек имеем:

(3.2.7)

Умножая каждое уравнение для внутренних точек на и учитывая краевые условия (3.2.7), получим однородную линейную систему уравнений с неизвестными:

(3.2.8)

Из курса линейной алгебры известно, что ненулевое решение такой системы существует лишь при некоторых значениях .

В матричном представлении система (3.2.8) имеет вид:

, (3.2.9)

где ; (3.2.10)

; (3.2.11)

. (3.2.12)

Таким образом, задача сводится к определению собственных чисел и векторов матрицы . Т.е. каждое собственное число задачи (3.2.9) является критической силой, а соответствующий собственный вектор – формой потери устойчивости. На практике основной интерес вызывает минимальная критическая сила и соответствующая ей форма потери устойчивости. Отметим также, что форма потери устойчивости на самом деле является формой разрушения конструкции, поскольку величина определяется с точностью до множителя и, следовательно, может неограниченно возрастать.

Дата добавления: 2014-01-20