Бифуркационная диаграмма

Введем обозначения:

. (4.11)

Тогда характеристическое уравнение запишется в виде:

. (4.12)

Рассмотрим плоскость с прямоугольными декартовыми координатами s, D и отметим на ней области, соответствующие тому или иному типу состояния равновесия, который определяется характером корней характеристического уравнения

. (4.13)

Условием устойчивости состояния равновесия будет наличие отрицательной действительной части у l₁ и l₂. Необходимое и достаточное условие этого – выполнение неравенств s > 0, D > 0. На диаграмме (4.15) этому условию соответствуют точки, расположенные в первой четверти плоскости параметров. Особая точка будет фокусом, если l₁ и l₂ комплексны. Этому условию соответствуют те точки плоскости, для которых , т.е. точки между двумя ветвями параболы s ² = 4D. Точки полуоси s = 0, D>0, соответствуют состояниям равновесия типа центр. Аналогично, l₁ и l₂ - действительны, но разных знаков, т.е. особая точка будет седлом, еслиD<0, и т.д. В итоге мы получим диаграмму разбиения плоскости параметровs, D, на области, соответствующие различным типам состояния равновесия.

Рис. 4.10. Бифуркационная диаграмма

для системы линейных уравнений 4.4

Если коэффициенты линейной системы a, b, c, d зависят от некоторого параметра, то при изменении этого параметра будут меняться и величины s, D. При переходе через границы характер фазового портрета качественно меняется. Поэтому такие границы называются бифуркационными – по разные стороны от границы система имеет два топологически различных фазовых портрета и, соответственно два разных типа поведения.

На диаграмме видно, как могут проходить такие изменения. Если исключить особые случаи – начало координат, – то легко видеть, что седло может переходить в узел, устойчивый или неустойчивый при пересечении оси ординат. Устойчивый узел может перейти либо в седло, либо в устойчивый фокус, и т.д. Отметим, что переходы устойчивый узел – устойчивый фокус и неустойчивый узел – неустойчивый фокус не являются бифуркационными, так как топология фазового пространства при этом не меняется. Более подробно мы поговорим о топологии фазового пространства и бифуркационных переходах в лекции 6.

При бифуркационных переходах меняется характер устойчивости особой точки. Например, устойчивый фокус через центр может переходить в неустойчивый фокус. Эта бифуркация называется бифуркацией Андронова-Хопфа по именам исследовавших ее ученых. При этой бифуркации в нелинейных системах происходит рождение предельного цикла, и система становится автоколебательной (см. лекцию 8).

Дата добавления: 2014-01-20