Простейшие системы массового обслуживания

n-канальная СМО с отказами. (задача Эрланга).

ПРИМЕРЫ. Телефонная станция.

Рассмотрим одну из первых по времени, «классических» задач теории массового обслуживания; эта задача возникла из практических нужд телефонии и была решена в начале нашего века датским математиком Эрлангом.

ДАНО.

n – количество каналов (линий связи),

λ – интенсивность потока заявок(1/t_з).

m – интенсивность потока обслуживании (1/t_об).

НАЙТИ.

p_i – финальные вероятности состояний СМО

характеристики ее эффективности:

A — абсолютную пропускную способность, т. е. среднее число заявок, обслуживаемых в единицу времени;

Q — относительную пропускную способность, т, е. cреднюю долю пришедших заявок, обслуживаемых системой;

P_отк —вероятность отказа, т. е. того, что заявка покинет СМО необслуженной;

k — среднее число занятых каналов.

РЕШЕНИЕ. Cостояния системы S будем нумеровать по числу заявок, находящихся в системе (в данном случае оно совпадает с числом занятых каналов):

S_о — в СМО нет ни одной заявки,

S₁ — в СМО находится одна заявка (один канал занят, остальные свободны),

S_k —в СМО находится k заявок (k каналов заняты, остальные свободны),

S_n — в СМО находится п заявок (все п каналов заняты).

Граф состояний СМО соответствует схеме гибели и размножения.

λ λ λ λ λ λ λ

m 2m 3m km (k+1)m (n-1)m nm

Разметим этот граф, т.е. проставим у стрелок интенсивности потоков событий. Из S₀ в S₁ систему переводит поток заявок с интенсивностью λ (как только приходит заявка, система перескакивает из S₀ в S₁ ). Тот же поток заявок переводит систему из любого левого состояния в соседнее правое. Проставим интенсивности у нижних стрелок. Пусть система находится в состоянии S₁ (работает один канал). Он производит m обслуживаний в единицу времени. Проставляем у стрелки S₁ - S₀ интенсивность m. Теперь представим себе, что система находится в состоянии S₂ (работают два канала). Чтобы ей перейти в S₁ нужно, чтобы либо закончил обслуживание первый канал, либо второй; суммарная интенсивность их потоков обслуживании равна 2m; проставляем ее у соответствующей стрелки. Суммарный поток обслуживаний, даваемый тремя каналами, имеет интенсивность 3m, n каналами — nm. Проставляем эти интенсивности у нижних стрелок.

А теперь, зная все интенсивности, воспользуемся уже готовыми формулами для финальных вероятностей в схеме гибели и размножения.

Обозначим , тогда и

Вероятность того, что заявка не будет обслужена, равна вероятности того, что все каналы заняты, следовательно

Относительную пропускную способность – это вероятность того, что заявка будет обслужена Q=1-P_отк

Абсолютная пропускная способность А=l Q

А можно расценивать как интенсивность потока обслуженных заявок. Каждый занятый канал в единицу времени обслуживает m заявок. Тогда среднее количество занятых каналов k=A/m

Дата добавления: 2014-01-20