Студопедия

КАТЕГОРИИ:


Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

Метод ЭЙЛЕРА-КОШИ




В основе метода ломаных Эйлера лежит идея графического построения решения дифференциального уравнения, однако этот метод дает одновременно и способ нахождения искомой функции в численной (табличной) форме.

Пусть дано уравнение

(9)

с начальным условием

. (10)

Выбрав достаточно малый шаг h, построим, начиная с точки х0, систему равностоящих точек . Вместо искомой

интегральной кривой на отрезке рассмотрим отрезок касательной к ней в точке (обозначим ее L1) с уравнением

 
 

 


При из уравнения касательной получаем: , откуда видно, что приращение значения функции на первом шаге имеет вид: .

Аналогично, проводя касательную некоторой интегральной кривой семейства в точке, получим:

 
 


что при дает т. е. получается из

добавлением приращения

Таким образом, получение таблицы значений искомой функции по методу Эйлера заключается в циклическом применении пары формул:

 
 


(11)

 

 

Существуют различные уточнения метода Эйлера, повышающие его точность. Модификации метода обычно направлены на то, чтобы более точно определить направление перехода из точки точку . Метод Эйлера - Коши, например, рекомендует следующий порядок вычислений:

 

(12)

 

Геометрически это означает, что мы определяем направление интегральной кривой в исходной точке и во вспомогательной точке, а в качестве окончательного берем среднее этих направлений.

В соответствии с методом Эйлера – Коши запишем итерационные уравнения нахождения значения скорости ni+1 в следующий момент времени из предыдущего ni (обозначим t – шаг по времени).Обозначив

 

(13)

Тогда в момент времени ti+1 согласно методу Эйлера – Коши запишем формулы:

 

(14)

 

Тогда, подставляя (13) в формулы (14), в итоге получим:

Для ускорения процесса работы над задачей целесообразно вместо составления программы воспользоваться готовой прикладной программой (например, табличным процессором Excel).

В Excel в ячейках D2, D4, D6, D8 таблицы будем хранить соответственно значения шага вычислений t, массы «безпарашютиста» m, величины mg, коэффициента . Это связано с тем, что все константы удобно хранить в отдельных ячейках, чтобы в случае их изменения не пришлось переписывать расчетные формулы Тогда для вычисления значения в ячейке В4 нужно записать формулу:

=B3+$D$2/2*(($D$6-$D$8*B3^2)/$D$4+($D$6-

$D$8*(B3+$D$2*($D$6-$D$8*B3^2)/$D$4)^2)/$D$4)

и произвести автозаполнение столбца В.

В столбце А в ячейку А4 нужно записать формулу: =СУММ(А3;$D$2) и произвести автозаполнение столбца А.




Поделиться с друзьями:


Дата добавления: 2014-01-20; Просмотров: 685; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



studopedia.su - Студопедия (2013 - 2024) год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! Последнее добавление




Генерация страницы за: 0.013 сек.