Основные свойства функции плотности вероятностей

Функция распределения и плотность вероятности случайной величины.

Для описания реальных величин, зависящих от случая, класса случайных дискретных величин недостаточно. Действительно, таким величинам, как размеры любых физических объектов, температура, давление, длительность тех или иных физических процессов, неестественно приписывать дискретное множество возможных значений. Напротив, естественно считать, что их возможные значения в принципе могут быть любыми числами в некоторых пределах.

Так как для случайной непрерывной величины нельзя перечислить все ее значения и их вероятности, то и задать для нее закон распределения с помощью таблицы невозможно. Для случайной непрерывной величины закон распределения задают с помощью плотности распределения вероятностей f(x).

Однако можно ввести единый способ определения законов распределения вероятностей с помощью функции распределения вероятностей F(x) ]-¥ < x < +¥[, которая определяется формулой

F(x) = P(X < x),

То есть равна вероятности того, что случайная величина Х примет значение, меньшее некоторого числа х.

Геометрически равенство F(x) = P(X < x) можно истолковать так: F(x) есть вероятность того, что случайная величина примет значение, которое изображается на числовой оси точкой, лежащей левее точки х.

Свойства функции распределения F(x).

1. Значения функции распределения принадлежат отрезку [0, 1], 0 £ F(x)£ 1, -¥ < x < +¥, так как F(x) равна вероятности.

2. F(-¥) = 0, так как x < -¥ есть событие невозможное.

3. F(+¥) = 1, так как x < +¥ есть достоверное событие.

4. F(x) – неубывающая функция своего аргумента: F(x₁)£ F(x₂) для любых значений аргументов, удовлетворяющих условию x₁ < x₂.

Производная от функции распределения вероятностей непрерывной величины Х равна плотности вероятностей случайной величины, или плотности распределения, то есть F¢(x) = f(x).

Функцию f(x) иногда называют дифференциальной функцией распределения вероятности.

Кривая у = f(x) называется кривой распределения вероятностей данной случайной величины.

1. Несобственный интеграл от плотности вероятности в пределах от -¥ до +¥ равен единице:

(5)

2. Плотность вероятности – функция неотрицательная:

f(x) ³ 0.

3. Вероятность того, что случайная непрерывная величина примет какое-нибудь значение из интервала ]a, b[, равна определенному интегралу от плотности вероятности в пределах от а до b:

(6)

4. Функция распределения F(x) случайной непрерывной величины и плотность вероятности f(x) взаимно определяют друг друга F¢(x) = f(x) и

(7)

Дата добавления: 2014-01-20