Принципы построения математических моделей

Классификация моделей

В настоящее время трудно назвать область человеческой дея­тельности, в которой в той или иной степени не использовались бы методы моделирования.

Как известно, методологической основой моделирования являет­ся системный подход. Выработка методологии направлена на научное обоснование получения и обработки информации о реальных объектах, которые взаимодействуют между собой и внешней средой.

В модельных исследованиях большую роль играют гипотезы, т.е. определенные предсказания, основывающиеся на небольшом количестве опытных данных, наблюдений и догадок. Проверка выдвигаемых гипо­тез может быть проведена в ходе специальных экспериментов.

При формулировании и проверке гипотез используется аналогия, суждение о некотором частном сходстве (существенном или несущест­венном) двух объектов. Необходимо отметить, что понятия сущест­венности или несущественности, сходства или различия объектов ус­ловны и относительны. Современная научная гипотеза возникает, как правило, исходя из аналогии с проверенными на практике научными положениями.

Гипотезы и аналогии, отражающие реально существующий мир, должны быть наглядны и, в конечном счете, сводиться к удобным для исследования логическим схемам. Такие логические схемы, "проявля­ющие" рассуждения и абстрактные построения, позволяющие проводить эксперименты, уточняющие природу явлений, называются моделями. Другими словами, модель (лат. modelus - мера) - это заместитель объекта-оригинала, обеспечивающий изучение некоторых свойств пос­леднего. По определению В.А.Штоффа, под моделью понимается такая мысленно представляемая или материально реализованная система, которая, отображая или воспроизводя объект исследования, способна замещать его так, что ее изучение дает новую информацию об этом объекте.

Соответственно замещение одного объекта другим с целью полу­чения информации о важнейших свойствах объекта-оригинала с по­мощью объекта-модели называют моделированием. Иными словами, мо­делирование - это получение информации об объекте-оригинале путем проведения экспериментов с его моделью. Теория замещения одних объектов (оригиналов) другими (моделями) и исследования свойств объектов на их моделях называется теорией моделирования.

Основой моделирования выступает теория подобия, в которой утверждается, что абсолютное подобие имеет место лишь при замене одного объекта точно таким же другим. При моделировании абсолют­ного подобия не бывает, поэтому исследователь стремится к тому, чтобы модель достаточно адекватно отображала исследуемую сторону функционирования объекта. В этой связи одним из первых признаков классификации моделей является степень их полноты. Модели в соот­ветствии с этим признаком подразделяются на полные, неполные и приближенные. Сравнительный анализ различных определений моделей, их классификация, функции и т.п. достаточно подробно освещены в научной литературе.

В зависимости от характера изучаемых процессов в системе все виды моделей можно разделить на детерминированные и стохастичес­кие. Детерминированные модели отображают процессы, в которых от­сутствуют случайные воздействия; стохастические модели служат для описания вероятностных процессов и событий.

Динамические модели отражают поведение объекта во времени предполагаются прерывистыми, "квантованными" во времени, соот­ветственно непрерывные модели позволяют показать непрерывные про­цессы в системах. Дискретно-непрерывные модели используются в случаях, когда хотят отобразить как дискретные, так и непрерывные процессы. Статические модели служат для описания поведения объек­тов в какой-либо фиксированный момент времени.

В зависимости от формы представления объекта можно выделить абстрактные и реальные (физические) модели. Абстрактные модели часто являются единственным способом познания объектов, которые либо практически не реализуемы в заданном интервале времени, либо существуют вне условий, возможных для физического существования. Например, на базе абстрактных моделей могут быть проанализированы многие ситуации микромира (мир элементарных частиц) или же, нао­борот, экстремальные ситуации макромира (в частности, "ядерная зима"), которые не поддаются физическому эксперименту. Абстракт­ные модели могут быть реализованы в виде наглядных и математичес­ких.

Наглядные модели базируются на представлениях человека о ре­альных объектах в виде некоторых диаграмм, графиков, схем, маке­тов, символических построений и т.п. Наглядные модели используют­ся в случаях, когда знаний об объекте недостаточно для построения полностью формальных моделей.

Для исследования характеристик процесса функционирования лю­бой системы математическими методами, включая компьютерные, долж­на быть проведена его формализация, т.е. построена математическая модель.

Под математическим моделированием понимаются процесс приве­дения в соответствие какому-либо реальному объекту некоторого другого объекта, описанного в виде функциональных соотношений (алгебраических, интегро-дифференциальных, конечно-разностных и т.п.) и логических условий, а также его исследование, позволяющее получить новую информацию о рассматриваемом реальном объекте. Вид математической модели зависит как от природы реального объекта, так и от задач исследования объекта и требуемой достоверности и точности решения этих задач. Любая математическая модель описыва­ет реальный объект лишь с некоторой степенью приближения к дейс­твительности.

Реальные модели обычно воспроизводят внешние признаки и спо­собы функционирования физических объектов.

Математические модели можно подразделить на аналитические и имитационные. Аналитическая модель может быть исследована с помощью следующих методов:

а) аналитического, когда следствия, вы­текающие из моделей, стремятся получить в явном виде;

б) числен­ного, когда, не умея находить явные решения, стремятся получить числовые результаты при конкретных начальных и граничных услови­ях;

в) качественного, когда, не имея решения в явном виде, можно оценить свойства решения, например устойчивость решения, его асимптотику.

При имитационном моделировании, которое применяется для изу­чения очень сложных систем, реализующий модель алгоритм воспроиз­водит на ЭВМ процесс их функционирования, причем имитируются эле­ментарные явления и составляющие процесса с сохранением их логи­ческой структуры и последовательности протекания во времени.

Различие между аналитическими и имитационными моделями достаточно условно и определяется возможностями математического ап­парата.

Следует особо отметить метод кибернетического моделирования, который был предложен "отцом кибернетики" Н.Винером в виде схемы так называемого черного ящика. В нем отсутствует непосредственное подобие процессов, происходящих в моделях, реальным физическим процессам. В этом случае рассматривают объект-модель как "черный ящик", имеющий ряд входов и выходов, и моделируют некоторые связи между ними.

Чаще всего при использовании кибернетического метода прово­дят анализ поведенческой стороны объекта при различных воздейс­твиях внешней среды.

Дата добавления: 2014-01-20