![]() КАТЕГОРИИ: Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748) |
Теорема. Пусть требуется отыскать условный экстремум функции при условии связи (рис.5)
Пример Пусть требуется отыскать условный экстремум функции
![]() ![]()
![]() ![]() ![]() ![]() ![]()
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() а) б) Рис. 6. Иллюстрация к примеру 1: а) функция, задающая условие связи; жирной прямой линией показано допустимое множество; б) целевая функция: жирной кривой линией показан график целевой функции в пределах допустимого множества
Решая эту задачу методом исключения переменной:
Эта функция, очевидно, имеет минимум в точке Попробуем решить эту задачу методом Лагранжа. Составим функцию Лагранжа: Выпишем необходимые условия первого порядка: Из последнего равенства получаем В чем причина? А причина, оказывается, в том, что в этой точке (как, впрочем, и на всем допустимом множестве
Как быть в таком случае? В данном случае видно, что, не изменяя существа задачи (допустимого множества), можно упростить условие связи, т.е. вместо заданного взять эквивалентное ему: В этом случае градиент откуда В данном случае указанное выше упрощение условия связи очевидно. Однако так обстоит дело далеко не всегда. Даже в этом примере, если в условии связи раскрыть скобки, не сразу видно, как упростить выражение
Как уже говорилось, в общем случае выполнение условия Якоби в точке Это равносильно тому, что матрица частных производных этих функций имеет в точке
4.2.3. Идея вывода условий II порядка. Проиллюстрируем вывод необходимого условия II порядка и достаточного условия. Будем при этом считать, что необходимое условие I порядка уже обосновано. Оно войдет, естественно, и в общее необходимое условие, и в достаточное условие. Воспользуемся тем же приемом, которым мы доказывали необходимое и достаточное условия для безусловного экстремума – разложением по формуле Тейлора. Однако в данном случае мы будем раскладывать не целевую функцию, а функцию Лагранжа (которая на допустимом множестве совпадает с целевой функцией) и учитывать, что ее максимум рассматривается не во всей окрестности, а лишь на допустимом множестве Доказательство будем проводить для условного локального максимума. Для доказательства теоремы о минимуме достаточно рассмотреть функцию Будем предполагать, что
или, так как В соответствии с определением условного локального максимума необходимо и достаточно, чтобы в некоторой окрестности (для строгого максимума – знак неравенства строгий: "<" при Итак, наличие условного локального максимума в точке Более тонкий анализ показывает, что условие Проиллюстрируем существо отличия векторов
Рис. 7. Иллюстрация различия между векторами и
4.2.4. Теорема о признаках условного локального экстремума. Приведенные рассуждения приводят к следующей теореме.
Пусть Тогда для наличия в точке
и достаточно (даже для строгого экстремума), чтобы существовал такой вектор
Замечание 1. Как уже отмечалось ранее, условие Точки, в которых условие Якоби не выполняется, могут быть потеряны при отыскании условного экстремума методом Лагранжа (см. пример 1). Поэтому их следует анализировать особо. Замечание 2. Условие Аналогично, строгое неравенство в достаточных условиях эквивалентно отрицательной (положительной) определенности окаймленной матрицы Гессе
Замечание 3. При сделанных в теореме предположениях (при выполнении условия Якоби) вектор Замечание 4. Из теоремы следует, что если в стационарной точке окаймленная матрица Гессе положительно (отрицательно) определена, то целевая функция имеет в данной точке минимум (максимум). Если неопределена (квадратичная форма от дифференциалов знакопеременна), – то экстремума нет, если же квазиопределена (полуопределена), - то данная теорема ответа не дает – требуется дополнительное исследование.
Дата добавления: 2014-01-20; Просмотров: 872; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы! Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет |