Законы Ома и Кирхгофа в дифференциальной форме

Выделим в проводящей среде небольшой параллелепипед объемом ΔV. Длина ребра параллелепипеда Δl, площадь поперечного сечения Δs. Расположим этот параллелепипед так, чтобы напряженность поля в нем была направлена параллельно ребру (рис. 1, а). В силу малости объема можно считать, что напряженность электрического поля одна и та же во всем элементарном объеме:

где — единичный вектор по направлению Δ, Δи .

Ток.

Напряжение на элементе объема .

Сопротивление элемента объема .

Подставив в выражение эквиваленты R и I, получим

,

откуда

. (1)

Рисунок 1

Соотношение (1) называют законом Ома в дифференциальной форме. Оно устанавливает связь между плотностью тока в данной точке проводящей среды и напряженностью поля в этой же точке.

Уравнение (1) справедливо для областей вне источников э. д. с. В областях, занятых источниками э. д. с., кроме кулонова (электростатического) поля, существует еще так называемое стороннее электрическое поле, обеспечивающее непрерывное движение зарядов в электрической цепи.

Под сторонним электрическим полем понимают электрическое поле не электростатической природы (например, обусловленное химическими, электрохимическими, тепловыми, термоэлектрическими, механическими или электромагнитными процессами).

Напряженность стороннего поля обозначают _стор. В областях, занятых источниками э. д. с., полное значение напряженности поля равно геометрической сумме напряженности кулонова и стороннего полей _стор.

На рис. 3.1, б схематически изображена электрическая цепь постоянного тока. Она состоит из источника питания и нагрузки.

Источник сторонней э. д. с. создает внутри источника питания стороннюю напряженность поля _стор.

Линейный интеграл от сторонней напряженности поля внутри источника называется э. д. с. источника (Е₁):

(2)

Под действием стороннего поля в источнике непрерывно происходит разделение электрических зарядов. Положительные заряды перемещаются к плюсу источника, а отрицательные — к минусу.

Эти заряды в области внутри и вне источника создают электрическое поле, напряженность которого, как и напряженность электростатического (кулонова) поля, направлена от положительных зарядов к отрицательным.

При протекании постоянного тока по цепи одни электрические заряды непрерывно сменяются другими, такими же, как и в предыдущие моменты времени. Таким образом, картина поля в макроскопическом смысле повторяется в смежные моменты времени. Поле носит как бы статический характер. Это и послужило основанием для того, чтобы поле, созданное в проводящей среде разделившимися зарядами, называть кулоновым полем, а его напряженность Е называть напряженностью кулонова поля.

Внутри источника кулоново поле направлено навстречу стороннему полю. Полное значение напряженности поля внутри источника равно _стор. Вне источника кулоново поле направлено от положительного электрода к отрицательному. Под действием этого поля и происходит упорядоченное движение зарядов в области вне источника. При протекании тока по цепи . При разомкнутой цепи .

Закон Ома в дифференциальной форме для областей, занятых источниками э. д. с., записывают следующим образом:

. (3)

Уравнение (3) в литературе называют обобщенным законом Ома в дифференциальной форме.

Если от обеих частей уравнения (3) взять интеграл по замкнутому контуру, включающему в себя источник э. д. с., то из уравнения (3) будет получен второй закон Кирхгофа. Поэтому уравнение (3) называют также вторым законом Кирхгофа в дифференциальной форме.

На рис. 1, в изображен замкнутый контур, по которому течет ток I. На участке 123 имеется источник сторонней э. д. с. Е₁. На участке 341 нет источников сторонней э. д. с. Обозначим через R₁ сопротивление участка 123 и через R — сопротивление участка 341. Примем, что площадь поперечного сечения всех участков замкнутого контура достаточно мала для того, чтобы можно было считать направление плотности тока и направление напряженности поля в некоторой точке совпадающими с направлением элемента пути в той же точке.

Умножим обе части (3) на и составим циркуляцию вдоль замкнутого контура 12341 рис. 1, в:

Интеграл от суммы равен сумме интегралов. Поэтому

в силу потенциального характера кулонова поля.

В свою очередь

но равен сторонней э. д. с.E₁, a, так как на участке 341 нет сторонней э. д.с.

Для подсчета величины умножим и разделим подынтегральное выражение на площадь поперечного сечения S, от плотности тока перейдем к току I и заменим на сопротивление участка пути dR. Получим:

Таким образом, из уравнения (3) образовано уравнение

I(R₁+R)=E₁,

составленное по второму закону Кирхгофа.

Первый закон Кирхгофа в дифференциальной форме

Если в проводящей среде выделить некоторый объем, по которому протекает постоянный, не изменяющийся во времени ток, то можно сказать, что ток, который войдет в объем, должен равняться току, вышедшему из объема, иначе в этом объеме происходило бы накопление электрических зарядов, что опыт не подтверждает. Сумму входящего в объем и выходящего из объема токов записывают так:

(4)

Если разделить и левую и правую части (2) на одно и то же число (на объем, о котором шла речь), то равенство останется справедливым:

Очевидно, что последнее соотношение будет справедливо и в том случае, если объем, находящийся внутри замкнутой поверхности, будет стремиться к нулю:

Таким образом, для постоянного, неизменного во времени поля в проводящей среде

(5)

Это соотношение называют первым законом Кирхгофа в дифференциальной форме. Оно означает, что в установившемся режиме (при постоянном токе) в любой точке поля нет ни истока, ни стока линий тока проводимости .

Дата добавления: 2014-01-20