Точка и ее проекции. Конкурирующие точки

Точка может находиться в любом из восьми октантов. Так же точка может располагаться на какой-либо плоскости проекций (принадлежать ей) или на какой-либо оси координат. На рис. 15 показаны точки, расположенные в разных четвертях пространства. Точка В находится в первом октанте. Она удалена от плоскости проекций П₁, на расстояние, равное расстоянию от ее фронтальной проекции В до оси проекций, и от плоскости П₂ на расстояние, равное расстоянию от ее горизонтальной проекции до оси проекций. При преобразовании пространственного макета горизонтальная плоскость проекций П₁ разворачивается в направлении, указанном стрелкой, и вместе с ней разворачивается горизонтальная проекция точки В, фронтальная проекция остается на месте.

Точка А находится во втором октанте. При развороте плоскостей проекций обе проекции этой точки (горизонтальная и фронтальная) на эпюре будут располагаться на одной линии связи выше оси проекций Х. По проекциям можно определить, что точка А располагается несколько ближе к плоскости проекций П₂, чем к плоскости П₁, поскольку ее фронтальная проекция располагается выше горизонтальной.

Точка С находится в четвертом октанте. Здесь горизонтальная и фронтальная проекции точки С располагаются ниже оси проекций. Поскольку горизонтальная проекция точки С ближе к оси проекций, чем фронтальная, то точка С располагается ближе к фронтальной плоскости проекций, аналогично проекциям точки А на фронтальной плоскости проекций.

Таким образом, по расположению проекций точек относительно оси проекций можно судить о положении точек в пространстве, т. е. можно установить, в каких углах пространства они находятся и на какие расстояния они отстоят от плоскостей проекций и т. д.

На рис. 16 представлены также точки, занимающие некоторые частные (особые положения). Точка Е принадлежит горизонтальной плоскости П₁; фронтальная проекция Е₂ этой точки находится на оси проекций, а горизонтальная проекция Е₁ совпадает с самой точкой.

Точка Ф принадлежит фронтальной плоскости П₂; горизонтальная проекция Ф₁ этой точки находится на оси проекций, а фронтальная проекция Ф₂ совпадает с ней. Точка Г принадлежит оси проекций. Обе проекции этой точки находятся на оси координат.

Рис. 15

Рис. 16

Если точка принадлежит плоскости проекций, то одна из ее проекций находится на оси, а другая с точкой совпадает.

Расстояние точки от фронтальной плоскости проекций называют глубиной точки, от профильной – шириной и от горизонтальной плоскости проекций – высотой. Эти параметры можно определить по отрезкам линий связи на эпюре. Например, на рис. 13 глубина точки А равна отрезку А _х А₁, ширина 0А _х или А ₂ А _z, высота – отрезкам А _х А ₂ или А _у А ₃. Также глубину точки можно определить по величине отрезка А _z А ₃, поскольку он равен всегда отрезку А _х А_1.

На рис. 17 представлены некоторые точки. Как можно заметить по данному рисунку, одна из проекций точки С, в данном случае фронтальная, принадлежит, т. е. находится, на оси х. Если записывать координаты точки С, то они будут выглядеть следующим образом: С (х, y, 0). Отсюда делаем вывод, поскольку координата точки С по оси Z (высота) равна нулю, то сама точка находится на горизонтальной плоскости проекций в месте расположения своей горизонтальной проекции.

Рис. 17

Запись координат точки А выглядит следующим образом: А (0, 0, z). Координата точки А по оси x равна нулю, значит точка А не может располагаться на фронтальной или горизонтальной плоскостях проекций. Координата точки А и по оси y тоже равна нулю, следовательно, точка не может находиться и на профильной плоскости проекций. Отсюда делаем вывод, что точка А располагается на оси z, которая является линией пересечения фронтальной и профильной плоскостей проекций.

Фронтальная проекция точки К на рис. 17 располагается ниже оси x, следовательно сама точка расположена ниже горизонтальной плоскости проекций. Ниже горизонтальной плоскости располагаются октанты III и IV (см. рис. 12). А поскольку проекция К₁ расположена на эпюре ниже оси y, то делаем вывод, что сама точка К расположена в четвертом октанте пространства.

Точка В расположена в первом октанте пространства, и по расположению проекций можем судить, что точка В не принадлежит ни плоскостям проекций, ни осям координат.

Особое место в начертательной геометрии отводится конкурирующим точкам. Конкурирующими называют точки, проекции которых совпадают на какой-либо плоскости проекций. Метод конкурирующих точек используют для решения различных задач, в частности для определения видимости объектов. На рис. 18 представлены две пары конкурирующих точек: В – Т и А – Е. Точки В – Т являются горизонтально-конкурирующими, поскольку их проекции совпадают на горизонтальной плоскости проекций, а точки А – Е – фронтально-конкурирующими, поскольку их проекции совпадают на фронтальной плоскости проекций.

По рис. 18 можно определить, что на горизонтальной плоскости проекций будет видима точка В, поскольку в пространстве она располагается выше точки Т. На эпюре видимость двух горизонтально-конкурирующих точек на горизонтальной плоскости проекций определяют, сравнивая высоту фронтальных проекций этих точек: высота точки В больше, чем высота точки Т, следовательно, на горизонтальной плоскости проекций будет видима точка В, поскольку на фронтальной плоскости проекций ее проекция располагается выше проекции точки Т.

Аналогичным образом определяют видимость двух фронтально-конкурирующих точек, только в этом случае сравнивают расположение проекций двух точек на горизонтальной плоскости проекций. На рис. 18 видно, что точка А располагается в пространстве ближе к наблюдателю, чем точка Е, у точки А расстояние по оси y больше, чем у точки Е. На эпюре проекция точки А – А ₁ располагается ниже, чем проекция точки Е – Е ₁, следовательно, на фронтальной плоскости проекций видима будет точка А.

Рис. 18

Видимость профильно-конкурирующих точек определяют, сравнивая расположение проекций по оси х. Точка, у которой координата по оси х больше, будет видима на профильной плоскости проекций.

По эпюру на комплексном чертеже, имея определенные знания и навыки, легко определить расположение точки пространства относительно плоскостей проекций, осей координат или каких-либо других объектов. Умея распознавать по эпюру положения точки, можно также определить положение любого другого объекта пространства, поскольку любой геометрический объект можно представить как множество точек, расположенных определенным образом.

а б в

Рис. 19

На рис. 19, а на видно, что точка А располагается дальше точки В от наблюдателя в пространстве и обе они расположены на одной высоте. На комплексном чертеже (рис. 19, б) фронтальные проекции обеих точек расположены на равном расстоянии от оси х,горизонтальная проекция точки А расположена ближе к оси х, чем проекция точки В. Поскольку положение прямой линии в пространстве задается двумя точками, соединив точки А и В прямой линией, мы получим изображение линии на чертеже. Если фронтальные проекции двух точек прямой расположены на одном расстоянии от горизонтальной плоскости проекций, следовательно, прямая линия расположена параллельно этой плоскости (рис. 19, в).

Дата добавления: 2014-01-20