Алгебраический критерий Гурвица

Критерии устойчивости линейных САУ.

Прямой анализ устойчивости САУ, основанный на вычислении корней характеристического уравнения, связан с необходимостью вычисления корней, что является непростой задачей. Поэтому в инженерной практике важное значение приобретают правила, позволяющие определять устойчивость системы без вычисления корней характеристического уравнения.

Способы определения устойчивости САУ без вычисления корней характеристического уравнения называются критериями устойчивости САУ. Различают две группы критериев устойчивости: алгебраические – основанные на анализе коэффициентов характеристического уравнения, и частотные – основанные на анализе частотных характеристик САУ.

Этот критерий позволяет определить устойчивость САУ, если характеристическое уравнение замкнутой системы представлено в виде:

Для этого строится главный определитель Гурвица по следующему правилу: по главной диагонали выписываются все коэффициенты от до в порядке возрастания коэффициентов. Столбцы вверх от главной диагонали заполняются коэффициентами характеристического уравнения с последовательно возрастающими индексами, а столбцы вниз – коэффициентами с последовательно убывающими индексами. На месте коэффициентов с индексами, большими порядка характеристического уравнения и меньшими нуля, проставляют нули.

Выделяя в главном определителе Гурвица диагональные миноры, получаем определитель Гурвица низшего порядка. Номер определителя Гурвица определяется номером коэффициента по диагонали, до которого составляют данный определитель.

, , .

Определение: чтобы САУ была устойчива, необходимо и достаточно, чтобы определитель Гурвица и его диагональные миноры имели знаки, одинаковые со знаком первого коэффициента характеристического уравнения замкнутой САУ. При для устойчивости САУ необходимо и достаточно выполнение условий:

;.

Рассмотрим замкнутую САУ, состоящую из трех последовательно включенных апериодических звеньев, охваченных 100% обратной связью.

Передаточная разомкнутой САУ функция имеет вид:

.

Передаточная функция замкнутой САУ определяется как

.

Главный определитель Гурвица имеет вид:

.

Первый определитель Гурвица . Это условие выполняется для всех возможных комбинаций параметров САУ.

Второй определитель Гурвица определяется как

.

Раскрывая определитель получаем

.

Решая это уравнение относительно суммарного коэффициента усиления САУ , определяемого как

,

получаем, что

Из этого следует, что суммарный коэффициент усиления САУ не может превышать некоторую величину. Следовательно, пределы уменьшения погрешности стабилизации регулируемой координаты в такой системе ограничены.

Дата добавления: 2014-01-20