Второй закон Кирхгофа

Первый закон Кирхгофа

Закон Ома

Матричная форма представления основных законов электротехники.

С использованием матриц инциденций М и N, а также матриц режимных параметров можно представить в компактной матричной форме основные законы электротехники.

Матричное уравнение:

U_B = Z_BI - E_B (1.1)

Структура матриц:

=. -

U_B – матрица падений напряжений в ветвях схемы;

I – вектор токов в ветвях;

E_B – матрица ЭДС в ветвях;

Z_B – матрица сопротивлений в ветвях, где Z_ij, i = j – взаимные сопротивления ветвей обусловленных взаимной индуктивностью ветвей;

Z_ij = Z_ji = 0 – в установившемся симметричном режиме функционирования электрической системы.

Пример 1.2

Записать в матричной форме закон Ома для расчетной схемы:

Z₁ = 0,1 Е₁ = 100

Z₂ = 0,3 Е₃ = 200

Z₃ = 0,5

=. -

Матричная форма записи позволяет представить баланс токов для всех узлов схемы одновременно.

M · I = J

Структура матриц:

1 ветви m

. = ar w:top="1134" w:right="850" w:bottom="1134" w:left="1701" w:header="720" w:footer="720" w:gutter="0"/><w:cols w:space="720"/></w:sectPr></w:body></w:wordDocument>">

M – матрица инциденций первого рода;

I – вектор неизвестных токов в ветвях;

J – вектор задающих токов.

Если J_i < 0, то он моделирует подключение нагрузки, если J_i > 0, то он моделирует генерацию мощности в i-том узле.

Пример 1.3

Записать первый закон Кирхгофа в матричной форме и перейти к системе уравнений:

Узлы нагрузочные:

J₁ = -5

J₂ = -3

J₃ = -1

1 2 3 4 5

М =

Б -1 0 -1 -1 0 - проверка

Матричная форма:

. =

Система уравнений:

I₃ – I₅ = -5

I₂ + I₄ + I₅ = -3

I₁ – I₂ = -1

Матричная форма позволяет записать баланс напряжений для всех независимых контуров схемы:

N · U_B = 0

Структура матриц:

1 ветви m

. = 0

Преобразуем закон Кирхгофа, используя матричную запись закона Ома:

N (Z_BI - E_B ) = 0

N Z_BI = N E_B

Произведение N E_B = E_К

где Е_в = - матрица ЭДС ветвей

Е_к =g w:val="EN-US"/></w:rPr><m:t>l</m:t></m:r></m:sub></m:sSub></m:e></m:mr></m:m><m:r><w:rPr><w:rFonts w:ascii="Cambria Math" w:h-ansi="Times New Roman"/><wx:font wx:val="Cambria Math"/><w:i/><w:sz w:val="28"/><w:sz-cs w:val="28"/></w:rPr><m:t> </m:t></m:r></m:e></m:d></m:oMath></m:oMathPara></w:p><w:sectPr wsp:rsidR="00000000"><w:pgSz w:w="12240" w:h="15840"/><w:pgMar w:top="1134" w:right="850" w:bottom="1134" w:left="1701" w:header="720" w:footer="720" w:gutter="0"/><w:cols w:space="720"/></w:sectPr></w:body></w:wordDocument>"> - матрица ЭДС контуров

Тогда второй закон Кирхгофа имеет вид:

N Z_BI = Е_К

Структура матриц:

1.... m

.. =

Z_B - диагональная матрица сопротивлений ветвей;

I – вектор неизвестных токов в ветвях.

Пример 1.4

Записать в матричной форме и в виде системы алгебраических уравнений второй закон Кирхгофа для расчетной схемы:

Z₁ = 0,1 Е₁ = 100

Z₂ = 0,3 Е₃ = 300

Z₃ = 0,4

Z₄ = 0,8

Z₃ = 0,6

1 2 3 4 5

N =

Найдем вектор контурных ЭДС

Е_К = N· Е_В

Е_К =. = =

В матричной форме:

.. =

. =

N Z_B · I = Е_К

Система уравнений:

-0,4 I₁ + 0,8 I₄ – 0,6 I₅ = 300

0,1 I₁ + 0,3 I₂ – 0,8 I₄ = -200

Задание 2

Используя вариант расчетной схемы и исходные данные записать 1 и 2 законы Кирхгофа в матричной форме и в виде системы уравнений.

Дата добавления: 2014-01-11