Л1. Погрешности вычислительных операций

Для контроля счисления пути судна и определения его места судоводитель вынужден проводить вычисления на основе чисел, которые представляют собой измеренные и наблюдаемые величины НП. Все эти числа являются приближёнными, т.е. имеют некоторую погрешность. По этим причинам всегда необходимо при вычислениях руководствоваться следующими основными правилами.

1. Точность вычислений должна соответствовать точности исходных чисел, т.е. точности измерений.

2. Результат вычислений должен всегда контролироваться для выявления грубых просчётов (промахов).

3. После окончания расчётов необходимо оценивать надёжность и точность результата по правилам и формулам теории погрешностей.

4. Всегда надо использовать наиболее совершенные формулы, таблицы, пособия, вычислительные средства и инструменты.

5. При проведении часто повторяющихся вычислений надо применять специально составленные вычислительные схемы.

Пояснение:

1. Для выполнения правила 1 необходимо выполнять подсчёт (сохранение) необходимого числа знаков в итоговом числе результата вычислений:

а) при сложении и вычитании приближённых чисел результат должен содержать столько десятичных знаков, сколько их в числе с наименьшим количеством знаков;

б) при умножении и делении в результате сохраняется столько значащих цифр, сколько их в числе с наименьшим количеством таких цифр;

в) при возведении приближённого числа в натуральную степень или при извлечении корня сохраняется такое количество значащих цифр, как и в исходном числе.

2. Для выполнения правила 2 используются обратные действия – при сложении – вычитание, при умножении – деление.

Числа округляют руководствуясь правилами 1-5. При этом дополнительно учитывают следующее.

1. Если отбрасывается цифра < 5, то последнюю (округляемую) цифру числа не изменяют.

2. Если отбрасывается 5 и за ней стоят только нули, то последняя (округляемая) цифра должна быть чётной (нечётная увеличивается на 1, чётная не изменяется).

3. В остальных случаях (т.е., если отбрасывается 5 и за ней есть хоть одна значащая цифра кроме 0, или отбрасывается цифра ≥ 5), последняя (округляемая) цифра увеличивается на 1.

Пример округления до десятых:

2.34≈2.3(по п.1); 2.35≈2.4 (по п.2); 2.45≈2.4 (по п.2); 2.450001≈2.5 (по п.3); 2.47≈2.5 (по п.3).

После округления числа оно будет написано равновероятно с недостатком или с избытком. Следовательно, все цифры округлённого числа считаются верными, кроме последней – приближённой, имеющей погрешность округления ±0.5 округляемой цифры. Положительные и отрицательные погрешности округления встречаются одинаково часто.

Опр. 1.1. Погрешностью называется разностьмежду приближенным (a) и истинным (А) значением величины.

Опр. 1.2. При этом, если эта погрешность выражается в единицах значения величины, то она называется абсолютной:

Δ = a – A.

Опр. 1.3. Если эта погрешность выражается в частях измеренного значения величины или в процентах, то она называется относительной:

δ = Δ / a; δ % = Δ / a * 100 %.

При вычислениях погрешность результата зависит от погрешностей исходных чисел. Пусть получены приближенные значения a₁; a₂;…a_n величин, имеющих истинные значения A₁; A₂;…A_n. При этом абсолютные погрешности приближенных величин равны Δ₁; Δ₂;… Δ_n.

Опр. 1.4.

Опр. 1.5.

Опр. 1.6.

Опр. 1.7.

Опр. 1.8.

Опр. 1.9.

Опр. 1.10.

Опр. 1.11.

Опр. 1.12.

Опр. 1.13.

Опр. 1.14.

Опр. 1.15.

В судовождении часто приходится оперировать с величинами, незначительно большими или меньшими единицы. Например, с числами 1,011 или 0,989, которые удобно представить в виде (1±α), где α1, т.е. значительно меньше единицы. Для таких чисел приближенные вычисления можно проводить по формуле:

Здесь n , т.е. может быть целым или дробным числом и иметь знак «+» или «-».

Например:

0,981³=(1-0,019)³1-3*0,019=0,943 (ьочный результат до шестого знака: 0,944076;

0,978^-3/2=(1-0,022)^-3/21-(-3/2*0,022)=1+0,033=1,033 (точный результат до шестого знака: 1,033932).

Если есть две величины, отвечающие условию α1, то применяют следующие формулы:

()()()/()

Рис. 2. Погрешности вычислительных операций

Методические рекомендации по практическим занятиям

№	ПЗ	Рекомендации
	ПЗ1	а) при сложении и вычитании приближённых чисел результат должен содержать столько десятичных знаков, сколько их в числе с наименьшим количеством знаков; б) при умножении и делении в результате сохраняется столько значащих цифр, сколько их в числе с наименьшим количеством таких цифр; в) при возведении приближённого числа в натуральную степень или при извлечении корня сохраняется такое количество значащих цифр, как и в исходном числе.   1. Сложение и вычитание Найти сумму приближённых чисел: 1,7+4,35+5,124; разность 69,3-4,856. Решение: Ответ: 1, 7 +4,35+5,124=11,17≈11,2; 69,3-4,856=69,3-4,86=64,44≈64,4.   2. Умножение и деление Найти произведение приближённых чисел: 31,5*28,4; 52,8*0,32; частное 30,5/2,45. Решение: Ответ: 31,5 * 28,4 =894,6≈895; 52,8*0, 32 =16,896≈17; 30,5 / 2,45 =12,44897959≈12,4.   3. Возведение в степень и извлечение корня Пример: 0,132^3=0,002299968≈0,00 230 ≈ 3,54 4. Округлить число до первого десятичного знака: 6,527; 0,456; 2,195; 1,450; 4,851. Решение: Ответ:

Дата добавления: 2014-01-20