Нули и полюса фильтра Чебышева первого рода

Порядок расчета фильтра Чебышева первого рода

Введение. Исходные данные и основные соотношения при аппроксимации АЧХ фильтра

В предыдущей статье мы рассмотрели основные свойства полиномов комплексной переменной и передаточной функции аналогового фильтра. Также была рассмотрена постановка задачи расчета фильтра, и проанализированы основные виды аппроксимирующих полиномов АЧХ.

В данной статье мы рассмотрим расчет фильтра Чебышева первого рода по заданному коридору АЧХ, показанному на рисунке 1.

Рисунок 1: Идеальная и реальная АЧХ ФНЧ

Приведем основные соотношения связывающие параметры аппроксимации АЧХ (данные соотношения были подробно рассмотрены здесь):

(1)

Аппроксимация АЧХ ФНЧ Чебышева первого рода представляется в виде:

(2)

где - многочлен Чебышева.

Порядок фильтра Чебышева первого рода рассчитывается из уравнения:

(3)

Решение которого имеет вид:

(4)

где - арккосинус гиперболический.

Все вышеприведенные соотношения уже были рассмотрены ранее. Мы привели их еще раз без пояснений, и они нам будут необходимы при рассечет фильтра Чебышева первого рода.

Итак приступим. Исходными данными для расчета фильтра Чебышева первого рода служат: частота среза, переходная полоса, задаваемая, допустимое искажение в полосе пропускания и требуемое подавление в полосе заграждения.

Первый шаг: из выражения (1) рассчитываются параметры,, и.

Второй шаг: расчет требуемого порядка фильтра согласно выражению (4).

Третий шаг, на котором мы остановимся более подробно: расчет передаточной функции фильтра Чебышева.

Предварительно мы вспомним некоторые свойства тригонометрических функций комплексного переменного. Во первых, рассмотрим косинус комплексной переменной. Представим как косинус суммы и получим:

(5)

Учтем, что тригонометрические функции связаны с гиперболическими следующими соотношениями:

(6)

Тогда окончательно можно представить выражение (5), с учетом выражения (6) и:

(7)

Соотношение (7) мы будем широко использовать в дальнейшем. Также вспомним следующее соотношение справедливое для произведения комплексно-споряженных чисел:

(8)

Данное соотношение нам также очень пригодится.

Итак приступим к расчету передаточной функции фильтра Чебышева первого рода. Как и в случае с фильтром Баттерворта, для фильтра Чебышева мы рассчитаем нули и полюса квадрата модуля переаточной характеристики, выберем из них только те, что лежат в левой полуплоскости (с отрицательной реальной частью) для обеспечения физической реализуемости и устойчивости фильтра, и после представим передаточную функцию фильтра на основе биквадратной формы.

Как и в случае фильтра Баттерворта, фильтр Чебышева не имеет нулей, так как ни при каких комплексных значениях квадрат модуля передаточной функции фильтра Чебышева (2) не обращается в ноль. Для расчета полюсов фильтра Чебышева приравняем знаменатель (2) к нулю:

(9)

Учтем что, тогда уравнение (9) перепишется к виду:

(10)

Учтем (8), тогда выражение (10) можно представить в виде произведения комплексно-сопряженных выражений:

(11)

Уравнение (11) можно переписать:

(12)

Теперь нам надо решить уравнение (12) относительно. Для этого введем обозначение

(13)

тогда

(14)

Или с учетом соотношения (7) можно записать:

(15)

Приравняем реальные и мнимые слагаемые в левой и правой частях уравнения и получим систему:

(16)

Рассмотрим систему подробнее. Гиперболический косинус никогда не обращается в ноль. Поэтому первое уравнение (16) можно записать:

(17)

Из второго уравнения, с учетом (17) можно заметить, что и тогда

(18)

Таким образом, мы рассчитали значения и в выражении (13). Теперь необходимо решить уравнение (13) относительно.

(19)

Откуда с учетом выражения (7) можно записать:

(20)

Тогда окончательно полюса квадрата модуля АЧХ фильтра Чебышева первого рода можно записать с учетом (17) и (18):

(21)

Для анализа расположения полюсов фильтра Чебышева рассмотрим соотношение:

(22)

Тогда вспомнив каноническое уравнение эллипса:

(23)

можно сделать вывод о том, что полюса фильтра Чебышева первого рода расположены на эллипсе с осями:

(24)

Графически это показано на рисунке 2 для и на рисунке 3 для.

Рисунок 2: Расположение полюсов квадрата модуля АЧХ фильтра Чебышева первого рода при

Рисунок 3: Расположение полюсов квадрата модуля АЧХ фильтра Чебышева первого рода при

Красными крестиками показаны полюса фильтра Чебышева. Зеленым показана окружность радиуса и полюса фильтра Баттерворта при и при неравномерности фильтра Баттерворта равной. Аналогично синим показана окружность радиуса и полюса фильтра Баттерворта при и и при неравномерности фильтра Баттерворта равной. Синими и зелеными линиями показано геометрическое расположение полюсов фильтра Чебышева первого рода, относительно полюсов «большого» и «малого» фильтров Баттерворта. Важно отметить, что если малую ось эллипса приближать к большой оси, то фильтр Чебышева будет приближаться к фильтру Баттерворта. Если эллипс на котором расположены полюса фильтра Чебышева превратить в окружность, то фильтр Чебышева автоматически переходит в фильтр Баттерворта. Другими словами если, то согласно (24) необходимо чтобы

(25)

Таким образом при уменьшении неравномерности в полосе пропускания фильтра Чебышева первого рода, его характеристика приближается к характеристики фильтра Баттерворта.

Дата добавления: 2014-01-20