Уточнение решения СЛАУ, полученного методом исключения Гаусса

Пусть – приближенное решение СЛАУ (1). Подставим в (1):

(9)

Если компоненты существенно отличаются от , то – не является достаточно хорошим приближением к решению СЛАУ (1). С другой стороны, даже если и близки, то всё равно может быть плохим приближением к решению СЛАУ.

Вычтем каждое уравнение (9) из каждого уравнения (1) и обозначим:

(10)

(11)

Тогда можно записать:

(12)

легко вычисляется, после чего СЛАУ (12) может быть решена относительно методом исключения Гаусса.

Новое приближение к решению СЛАУ (1):

(13)

Далее, снова можно подставить в (1):

(14)

Вычтем каждое уравнение (14) из (1) и обозначим

Получим СЛАУ:

которая также решается методом исключения Гаусса.

И так далее. Процесс можно повторять до тех пор, пока все не станут достаточно малыми.

Пример. Рассмотрим СЛАУ:

(1*)

Точное решение данной СЛАУ:

Решим эту СЛАУ методом исключения Гаусса со стратегией тривиального выбора главного элемента и арифметикой с четырьмя знаками точности:

(2*)

Подставим (2*) в (1*). Получим:

Решим СЛАУ:

(3*)

Применяя метод Гаусса без перестановок уравнений получим:

Поэтому новое приближение:

Подставим эти значения в (1*) и получим:

Решаем СЛАУ и получаем:

Далее:

(4*)

Таким образом удалось получить точное решение (4*) СЛАУ (1*) с помощью трёх итераций.

Замечание: Если бы сразу выбрали стратегию максимального главного элемента, то точное решение было бы получено за одну итерацию.

Пример 2. Решить систему уравнений методом Гаусса на шестиразрядной десятичной ЭВМ.

(*)

Примечание: Точное решение СЛАУ:

После решения методом Гаусса получаем:

– плохо!

Причина: использование на втором шаге малого ведущего элемента . Следовательно появился большой множитель и имеет место существенное вырастание коэффициента в последнем уравнении.

Дата добавления: 2014-01-20