Фазовая плоскость. Типы особых точек линейного дифференциального уравнения второго порядка

Анализ управляемости системы по критерию Хаутуса

Анализ управляемости системы по критерию Калмана

Для использования критерия Калмана запишем систему уравнений в форме Коши для систем со скалярным управлением

В рассматриваемой задаче.

Введем вектор переменных

Уравнения в переменных будут

Оглавление

Тогда матрица и вектор дозатор в системе уравнений имеют вид

Составим матрицу управляемости для системы уравнений.

Столбцы матрицы управляемости равны

Матрица управляемости получится

Оглавление

Согласно критерию управляемости Калмана, система со скалярным управлением будет управляемой, если выполняется условие

Вычислим определитель матрицы управляемости. Используя разложение определителя по первому столбцу, получим

Из соотношений следует, что, если.

Таким образом, из теоремы Калмана получаем результат: система двух маятников вполне управляема, если длины маятников разные.

Воспользуемся критерием Хаутуса, для систем второго порядка. Для этого запишем систему уравнений в матричной форме. Введем вектор переменных

Оглавление

Тогда матрицы и вектор дозатор будут

.

Характеристическое уравнение системы

имеет корни

Согласно критерию Хаутуса система

будет управляемой, когда выполнено условие

,

где корни характеристического уравнения

При матрица будет

,

при матрица имеет вид

.

Легко видеть, что ранг матриц и равен двум, если.

Итак, согласно теореме Хаутуса, система является вполне управляемой, если длины маятников разные.

Оглавление

ЛЕКЦИЯ 6.
СИНТЕЗ УПРАВЛЕНИЯ В ЗАДАЧЕ О СТАБИЛИЗАЦИИ МАЯТНИКА В ВЕРХНЕМ ПОЛОЖЕНИИ РАВНОВЕСИЯ

Фазовая плоскость, типы особых точек линейной системы второго порядка, построение управления колебаниями маятника в виде обратной связи, синтез управления при ограничениях на величину управляющего параметра, область притяжения, область управляемости, построение управления методом выделения неустойчивой координаты

Рассмотрим линейное дифференциальное уравнение второго порядка

В формулах и далее точкой обозначена производная по времени.

В переменных

,

уравнение второго порядка принимает вид системы двух дифференциальных уравнений первого порядка

Характеристическое уравнение для дифференциального уравнения и системы уравнений имеет вид

Тривиальное решение уравнения

,

определяет положение равновесия системы. Если начальные условия нулевые, то положение равновесия будет сохраняться бесконечно долго. При ненулевых начальных условиях для координаты и скорости будет происходить некоторое движение.

Для качественного анализа характера изменения переменных используется фазовая плоскость. По осям фазовой плоскости откладываются значения координаты (или) и скорости (или). Дифференциальные

Оглавление

уравнения фазовых траекторий в переменных, могут быть получены из уравнений путем исключения из них времени

В переменных уравнения фазовых траекторий будут соответственно

Через каждую точку на фазовой плоскости проходит только одна кривая. Исключение составляет только начало координат, соответствующее тривиальному решению. Начало координат называется особой точкой, так как через нее могут проходить несколько фазовых траекторий.

Движение по фазовым траекториям происходит в верхней полуплоскости фазовой плоскости слева направо, так как в верхней полуплоскости скорость изменения фазовой координаты положительна и, значит, фазовая координата возрастает. В нижней полуплоскости движение по траектории происходит справа налево. Фазовые траектории вне особой точки могут пересекать координатную ось, соответствующую фазовой координате только под прямым углом, так как в точке пересечения фазовая скорость равна нулю, и фазовая координата принимает соответственно максимальное или минимальное (локально) значение.

Характер поведения фазовых кривых определяется корнями характеристического уравнения. В зависимости от их значений для особой точки существует следующая классификация.

Дата добавления: 2014-01-20