Методы решения систем нелинейных алгебраических уравнений

Вычисления при решении систем обыкновенных дифференциальных уравнений (СОДУ) состоят из нескольких вложенных один в другой циклических процессов. Внешний цикл — цикл пошагового численного интегрирования, параметром цикла является номер шага. Если модель анализируемого объекта нелинейна, то на каждом шаге выполняется промежуточный цикл — итерационный цикл решения системы нелинейных алгебраических уравнений (СНАУ). Параметр цикла — номер итерации. Во внутреннем цикле решается система линейных алгебраических уравнений (СЛАУ), например, при применении узлового метода формирования ММС такой системой является

(1)

где — матрица Якоби, — вектор правых частей. Поэтому в математическое обеспечение анализа на макроуровне входят методы решения СНАУ и СЛАУ.

Для решения систем алгебраических уравнений можно применять прямые итерационные методы. К ним относятся методы простой итерации, Зейделя, Якоби, релаксации. Для них необходимо выполнение довольно жестких условий сходимости, характерна сравнительно медленная сходимость.

Поэтому в современных программах анализа наибольшее распространение получил метод Ньютона, основанный на линеаризации СНАУ. Собственно модель (1) получена именно в соответствии с методом Ньютона. Основное преимущество метода Ньютона — высокая скорость сходимости.

Представим СНАУ в виде

(2)

Разлагая в ряд Тейлора в окрестностях некоторой точки , получаем

Сохраняя только линейные члены, получаем СЛАУ с неизвестным вектором :

Алгоритм анализа на макроуровне включает в себя:

а) получение информации о соединении элементов в узлы на основе эквивалентной схемы или в программно-логистической форме (VHDL)

б) алгоритм получения MMC на основе компонентных и топологических уравнений, М-матрицы или матрицы инциденций.

в) решение полученной СОДУ

- при помощи алгебраизиции получается СНАУ, которая решается методами прямой итерации (Зейделя), при помощи неявного метода Эйлера или комбинацией явного и неявного методов Эйлера (метод трапеций).

I_n = C (U_n –U_n-1)h_n

- при помощи линеаризации (метод Ньютона, разложение в ряд Тейлора)

решается СЛАУ в маткаде, методами Гаусса, Якоби, Гаусса-Зейделя, Ньютона-Гаусса.

_-

Дата добавления: 2014-01-20