Ряды Фурье для 2 периодической функции

Тема: Ряды Фурье для 2 периодической функции. Теорема Дирихле. Разложение 2 l периодической функции в ряд Фурье.

Лекция 15

Лекция 16

Тема: Разложение 2Ɩ периодических функций в ряд Фурье. Разложение функций, заданных в промежутке (0, Ɩ), в ряд Фурье.

16.1 Разложение 2 Ɩ периодических функций в ряд Фурье.

Пусть f(x) – 2Ɩ периодическая функция. Сделаем замену переменной x= t, в результате получим периодическую функцию, которую по известным формулам разложим в ряд Фурье.

, где

Теперь сделаем обратную замену где

Теорема Дирихле остаётся справедливой и для 2Ɩ периодической функции, только выполнение условий теоремы надо проверить в промежутке (-Ɩ; Ɩ)

Пример 1. Разложить в ряд Фурье функцию

Решение. Данная функция в промежутке (-2;2)удовлетворяет всем условиям теоремы Дирхиле, поэтому она разлагается в ряд Фурье, который в точках непрерывности сходится к значению функции, а в точках разрыва первого рода сходится к среднему арифметическому пределов слева и справа. Данную функцию периодически продолжим с периодом 4.

На чертеже изображён график суммы ряда Фурье.

Найдём коэффициент ряда Фурье Ɩ=2.

При вычислении интеграла учтено, что, при

16.2. Разложение четных и нечетных 2 Ɩ периодических функций в ряд Фурье.

1) Пусть является четной функцией, т.е. тогда

и ряд Фурье запишется в следующем виде:

2) Пусть является нечетной функцией, т.е. тогда

и ряд Фурье запишется в следующем виде:

Пример 2. Разложить в ряд Фурье функцию

Решение. В данном примере Ɩ=1. Все условия теоремы Дирихле для данной функции в промежутке (-1,1) выполняются, поэтому функция разлагается в ряд Фурье. Данную функцию периодически продолжим с периодом 2.

-1

x

y

На чертеже мы изобразили график суммы ряда Фурье. Так как является четной функцией, то

Далее,. Для вычисления последнего интеграла надо дважды применить формулу интегрирования по частям.

Теперь запишем ряд Фурье для данной функции

.

16.3. Разложение функций, заданных в промежутке (0, Ɩ ) в ряд Фурье.

Данную функцию можно продолжить в промежуток (-Ɩ, Ɩ) различными способами. Отметим, что вычислений будет меньше, если функцию продолжить в промежуток (-Ɩ, Ɩ) четным или нечетным способом, так как половина коэффициентов будет равна 0. Затем, полученную функцию надо периодически продолжить с периодом 2Ɩ.

Пример 3. Разложить функцию в ряд Фурье по.

Решение. Так как данную функцию требуется разложить в ряд Фурье по синусам, то ее надо продолжить на промежуток (-3, 3) нечетным образом, а затем функцию продолжить периодически с периодом 6.

-3

x

y

-1

-4

На чертеже изображен график суммы ряда Фурье рассматриваемой функции.

Так как данную функцию продолжили нечетным способом, то

Пусть на [a,b] задана система функций

Определение 1. Система функций называется ортогональной на [a,b], если,.

Предварительно докажем, что тригонометрическая система 1, Cosx, Sinx, Cos2x, Sin2x,…Cosnx, Sinnx,… ортогональна на отрезке [ ].

1) =0, n = 1,2,…

2) =0, n = 1,2,…

3) =0, n

4) =0

5) =0, n

Вычислим еще следующие интегралы:

= - n = 1,2,…

=.

Пусть дан тригонометрический ряд:

, который сходится к S(x). S(x) должна быть 2 – периодической.

Будем предполагать, что равенство (1), умноженное на cosnx или sinnx, можно почленно интегрировать.

В результате получим:

, в силу ортогональности тригонометрической системы.

;,, n=1,2,…

+

,, n=1,2,…

Таким образом, зная сумму тригонометрического ряда, можно найти коэффициенты тригонометрического ряда.

Пусть дана 2 периодическая функция f(x) для которой существуют интегралы:

,,, n=1,2,…

Функции f(x) можно поставить в соответствие тригонометрический ряд:

f (x)

(2)

Ряд (2) называется рядом Фурье функции f(x),

, n=1,2,…,, n=1,2,…

называются коэффициентами ряда Фурье. Предварительно дадим два определения.

Определение 2. Функция f(x) называется кусочно - непрерывной на отрезке, если данный отрезок можно разбить на конечное число интервалов, на каждом из которых функция является непрерывной.

Определение 3. Функция f(x) называется кусочно - монотонной на отрезке, если отрезок можно разбить на конечное число интервалов, на каждом из которых функция не убывает либо не возрастает.

Дата добавления: 2014-01-20