Малые колебания механических систем

Из курса «Теоретическая механика» известно, что положение механической системы с степенями свободы задается с помощью обобщенных координат.

В случае голономных связей уравнения Лагранжа второго рода имеют вид:

(8.23)

где – обобщенные силы, а – кинетическая энергия системы, равная половине суммы произведений масс точек системы на квадрат их скоростей, то есть выражается в виде некоторой квадратичной формы относительно обобщенных скоростей

(8.24)

коэффициенты которой зависят от координат

Для консервативных действующих сил элементарная работа равна уменьшению потенциальной энергии, которую также можно считать выраженной через обобщенные координаты, при этом

(8.25)

Пусть точка означает состояние равновесия рассматриваемой системы. В состоянии равновесия., а тогда кинетическая энергия системы равна нулю и все ее частные производные по также равна нулю, ибо они представляют собой линейные формы от. Отсюда следует, что левые части уравнений Лагранжа обращаются тождественно в нули и величины удовлетворяют уравнениям

то есть положения равновесия системы возможны только в стационарных точках потенциальной энергии. Можно показать, что точка минимума потенциальной энергии отвечает устойчивому положению равновесия. Рассмотрим такую точку. Без ограничения общности можно считать, что в этой точке и само значение потенциальной энергии также равно нулю. Если ограничиться изучением движения системы в малой окрестности нулевой точки, то коэффициенты квадратичной формы можно считать постоянными, равными своим значениям в нулевой точке. Если потенциальную энергию разложить в ряд Тейлора в окрестности точки по переменным и отбросить члены выше второго порядка, то получим квадратичную форму относительно координат с постоянными коэффициентами (линейные члены относительно будут отсутствовать, так как все частные производные от по в положении равновесия равны нулю), то есть

Так как обе квадратичные формы и являются положительно определенными, то существует линейное преобразование координат в координаты

приводящие квадратичные формы и к виду

В обобщенных координатах уравнения Лагранжа (8.23) с использованием (8.25) примут вид

решения которых могут быть записаны в виде

где константы и определяются из начальных условий. Величины называются собственными частотами системы. Следовательно, каждая из координат совершает гармонические колебания с собственной частотой.

Дата добавления: 2014-01-20