Обработка данных и статистика

При проведении анализа различных физических явлений, технологических процессов результаты эксперимента обычно представляются в виде табличной зависимости функции y(x),

x	x1	x2	x3	…	xn-1	xn
y	y1	y2	y3	…	yn-1	yn

причем число заданных точек этой зависимости ограничено.

Поэтому неизбежно возникает задача приближенного вычисления значений функции в промежутках между узловыми точками (интерполяция) и за их пределами (экстраполяция). Эта задача решается аппроксимацией или интерполяцией исходной зависимости, т.е. ее подменой какой-либо достаточно простой функцией [1]. В MathCad имеются встроенные функции, обеспечивающие кусочно-линейную и сплайновую интерполяцию исходной табличной зависимости.

При кусочно-линейной интерполяции соседние узловые точки соединяются отрезками прямых, и дополнительные точки определяются по уравнениям этих прямых. Для проведения такого вида интерполяции используется функция linterp(VX, VY, x), где VX и VY - векторы, задающие узловые точки табличной зависимости, а x - аргумент, для которого требуется вычислить значение функции.

Например, на рис. 8.4 исходная табличная зависимость y(x) задается векторами VX и VY (5 точек). Затем определяется, так называемая, интерполяционная функция f_i(x), которая позволяет для любого аргумента x определить искомое значение функции y. График этой функции представлен на рис. 8.4 (синий пунктир) вместе с узловыми точками (красные крестики). Из рис. 8.4 видно, что в узловых точках VX_i значения функции f_i(x) совпадают с табличными VY.

Рис. 8.4 Проведение кусочно-линейной интерполяции в MathCad

Как видно из рис. 8.4 результаты кусочно-линейной интерполяции при достаточно малом числе узловых точек получаются довольно грубыми. Поэтому в этом случае целесообразнее использовать сплайновую интерполяцию, при которой исходная функция заменяется отрезками кубических полиномов, проходящих через три смежные узловые точки. Коэффициенты полиномов рассчитываются так, чтобы непрерывными были их первые и вторые производные.

Для выполнения сплайновой интерполяции в MathCad имеются четыре встроенные функции. Три из них обеспечивают получение вектора вторых производных сплайн-функций при различных способах сплайновой интерполяции:

· cspline (VX, VY) - возвращает вектор VS вторых производных при приближении в опорных точках к кубическому полиному;

· pspline (VX, VY) - возвращает вектор VS вторых производных при приближении в опорных точках к параболической кривой;

· lspline (VX, VY) - возвращает вектор VS вторых производных при приближении в опорных точках к прямой.

Четвертая функция interp (VS, VX, VY, x) возвращает для найденного ранее вектора вторых производных VS и заданной при помощи векторов VX и VY исходной табличной зависимости y(x) значение функции в произвольной точке x.

Таким образом, сплайновая интерполяция в MathCad производится в два этапа. На первом этапе определяется вектор вторых производных VS при помощи одной из трех ранее приведенных функций, а на втором - вычисляются значения функции в произвольных точках x посредством функции interp. Например, см. рис. 8.5.

Рис. 8.5 Проведение сплайновой интерполяции в MathCad

Как видно из сравнения графиков, представленных на рис. 8.4 и рис. 8.5, сплайновая интерполяция дает более гладкий график интерполяционной функции.

Дата добавления: 2014-01-20