Формула полной вероятности. Формула Бейеса

Следствием двух основных теорем теории вероятностей – теоремы сложения и умножения – являются формулы полной вероятности и формулы Бейеса.

На языке алгебры событий набор , , ¼, называется полной группой событий, если:

1. События попарно несовместны, т.е. , , ;.

2. В сумме составляют все вероятностное пространство .

Теорема 5 (Формула полной вероятности). Если событие А может произойти только при условии появления одного из событий (гипотез) , ,¼,, образующих полную группу, то вероятность события А равна

. (12)

Доказательство. Так как гипотезы , ,¼,– единственно возможные, а событие A по условию теоремы может произойти только вместе с одной из гипотез, то . Из несовместности гипотез следует несовместность .

Применяем теорему сложения вероятностей в виде (6):

(13)

По теореме умножения . Подставляя данное представление в формулу (13), окончательно имеем: , что и требовалось доказать.

Пример 8. Экспортно-импортная фирма собирается заключить контракт на поставку сельскохозяйственного оборудования в одну из развивающихся стран. Если основной конкурент фирмы не станет одновременно претендовать на заключение контракта, то вероятность получения контракта оценивается в 0,45; в противном случае – в 0,25. По оценкам экспертов компании вероятность того, что конкурент выдвинет свои предложения по заключению контракта, равна 0,40. Чему равна вероятность заключения контракта?

Решение. А - «фирма заключит контракт», - «конкурент выдвинет свои предложения», - «конкурент не выдвинет свои предложения». По условию задачи , . Условные вероятности по заключению контракта для фирмы , . По формуле полной вероятности

Следствием теоремы умножения и формулы полной вероятности является формула Бейеса.

Формула Байеса позволяет пересчитать вероятность каждой из гипотез, при условии, что событие произошло. (Она применяется, когда событие А, которое может появиться только с одной из гипотез, образующих полную группу событий, произошло и необходимо провести количественную переоценку априорных вероятностей этих гипотез известных до испытания, т.е. надо найти апостериорные (получаемые после проведения испытания) условные вероятности гипотез) , ,…, .

Теорема 6 (Формула Бейеса). Если событие А произошло, то условные вероятности гипотез вычисляются по формуле, которая носит название формулы Бейеса:

(14)

Доказательство. Для получения искомой формулы запишем теорему умножения вероятностей событий А и в двух формах:

,

откуда что и требовалось доказать.

Значение формулы Бейеса состоит в том, что при наступлении события А, т.е. по мере получения новой информации, мы можем проверять и корректировать выдвинутые до испытания гипотезы. Такой подход, называемый бейесовским, дает возможность корректировать управленческие решения в экономике, оценки неизвестных параметров распределения изучаемых признаков в статистическом анализе и т.п.

Задача 9. Группа состоит из 6 отличников, 12 хорошо успевающих студентов и 22 студентов, успевающих посредственно. Отличник отвечает на 5 и 4 с равной вероятностью, хорошист отвечает на 5, 4 и 3 с равной вероятностью, и посредственно успевающий студент отвечает на 4, 3 и 2 с равной вероятностью. Случайно выбранный студент ответил на 4. Какова вероятность того, что был вызван посредственно успевающий студент?

Решение. Рассмотрим три гипотезы:

,

Рассматриваемое событие . Из условия задачи известно, что

, , .

Найдем вероятности гипотез. Поскольку в группе всего 40 студентов, а отличников 6, то . Аналогично, , . Применяя формулу полной вероятности, находим

Теперь применим к гипотезе формулу Байеса:

Пример 10. Экономист-аналитик условно подразделяет экономическую ситуацию в стране на «хорошую», «посредственную» и «плохую» и оценивает их вероятности для данного момента времени в 0,15; 0,70 и 0,15 соответственно. Некоторый индекс экономического состояния возрастает с вероятностью 0,60, когда ситуация «хорошая»; с вероятностью 0,30, когда ситуация посредственная, и с вероятностью 0,10, когда ситуация «плохая». Пусть в настоящий момент индекс экономического состояния возрос. Чему равна вероятность того, что экономика страны на подъеме?

Решение. А = «индекс экономического состояния страны возрастет», Н₁ = «экономическая ситуация в стране «хорошая»», Н₂ = «экономическая ситуация в стране «посредственная»», Н₃ = «экономическая ситуация в стране «плохая»». По условию: , , . Условные вероятности: ,, . Требуется найти вероятность . Находим ее по формуле Бейеса:

.

Пример 11. В торговую фирму поступили телевизоры от трех поставщиков в соотношении 1:4:5. Практика показала, что телевизоры, поступающие от 1-го, 2-го и 3-го поставщиков, не потребуют ремонта в течение гарантийного срока соответственно в 98%, 88% и 92% случаев.

1. Найти вероятность того, что поступивший в торговую фирму телевизор не потребует ремонта в течение гарантийного срока.

2. Проданный телевизор потребовал ремонта в течение гарантийного срока. От какого поставщика вероятнее всего поступил этот телевизор.

Решение. Обозначим события: – телевизор поступил в торговую фирму от i -го поставщика , А – телевизор не потребует ремонта в течение гарантийного срока. По условию:

;

;

,

, , .

Ответ на первый вопрос задачи найдем по формуле полной вероятности (13), а именно:

Событие – телевизор потребует ремонта в течение гарантийного срока.

По условию , , . По формуле Бейеса

,

,

.

Интерпретация результата: таким образом, после наступления события A вероятность гипотезы Н₂ увеличилась с до максимальной , а гипотезы Н₃ – уменьшилась от максимальной до . Если ранее, до наступления события A, наиболее вероятной была гипотеза Н₃, то теперь, в свете новой информации (наступления события A), наиболее вероятна гипотеза Н₂ – поступление данного телевизора от 2-го поставщика.

Дата добавления: 2014-01-20