Виды уравнений, приводимых и неприводимых к линейной зависимости, и основные типы простейших преобразований

Линеаризация нелинейных моделей регрессии

Два класса нелинейных уравнений регрессии

Все виды нелинейных регрессионных моделей можно разбить на два класса:

1) нелинейные относительно факторных переменных, но линейные по оцениваемым параметрам;

2) нелинейные по оцениваемым параметрам.

Отличие этих классов друг от друга состоит в том, что функции, линейные по параметрам, представляют собой линейную комбинацию отдельных функций, для каждой из которых все параметры известны.

В свою очередь, нелинейные по параметрам функции делят на два подкласса:

а) модели, которые можно подвергнуть линеаризации (см. далее) – так называемые внешне нелинейные, но внутренне линейные;

б) модели, которые нельзя подвергнуть линеаризации (внутренне нелинейные) – в них для оценки параметров используются численные итеративные процедуры.

Из рассмотренных выше функций к линейным по параметрам относятся все полиномы и гиперболическая функция.

Например, рассмотрим полином второй степени, т.е. квадратическую функцию y = ax² + bx + c. Эта функция нелинейна, но ее можно представить как линейную комбинацию x², x и 1 (эти выражения не содержат неизвестных параметров) с весами a, b и c. Эти веса и есть неизвестные параметры, по которым модель линейна.

Если взять в качестве примера гиперболическую функцию у = a/x +
+ b, то она представляет собой линейную комбинацию 1/x и 1 с весами a и b. Здесь оцениваемые параметры - a и b.

Функция вида y = ax₁x₂ + b – пример полиномиальной множественной регрессии, и она тоже линейна по оцениваемым параметрам (линейно комбинируются x₁x₂ и 1 с весами a и b).

К классу моделей, нелинейных по параметрам, относятся степенная и показательная функции, модифицированная экспонента и т.п. Их невозможно представить в виде линейных комбинаций функций с известными параметрами.

Проводить эконометрическое исследование с нелинейными функциями часто бывает неудобно, поэтому обычно находят способы преобразовать их в линейные. Преобразование нелинейной функции в линейную называют линеаризацией.

Можно условно выделить два типа линеаризации – через замену переменных и через логарифмирование, хотя эти подходы можно и сочетать.

Преобразование путем замены переменных

Обычно этот подход применяют к функциям, линейным по параметрам.

Рассмотрим его на примере гиперболической функции (ее еще иногда называют обратной). В уравнении гиперболы у = a/x + b осуществим замену переменных z = 1/x. После этого уравнение станет линейным: у = az + b. Неизвестные параметры этого уравнения a и b можно найти с помощью МНК.

В качестве еще одного примера рассмотрим функцию y = ax₁x₂ + b. Осуществим замену переменных следующим образом: x₃ = x₁x₂. Тогда функция примет линейный вид: y = ax₃ + b.

Логарифмическое преобразование

Этот подход обычно применяют к функциям, нелинейным по параметрам, но внутренне линейным, в результате чего они становятся линейны по параметрам. Затем к ним применяют замену переменных и получают линейные функции.

Рассмотрим этот тип линеаризации на примере степенной функции
y = ax^b. Прологарифмировав обе части уравнения и заменив свободный член
ln a = α, получим:

(4.1)

ln y = α + b*ln x

Модель вида (4.1) принято называть двойной логарифмической моделью, поскольку в ней и результативный, и факторный признаки заданы в логарифмической форме.

Отметим, что степенная функция – нелинейна по параметрам, а нелинейная функция в модели (4.1) – линейна по параметрам, там как представляет собой линейную комбинацию логарифмических функций. Преобразованную модель можно линеаризовать путем замены переменных
z = ln x и = = ln y, после которой уравнение примет вид

(4.2)

,

где α и b - неизвестные параметры (их можно найти с помощью МНК).

Если применить логарифмическое преобразование к экспоненциальной функции у = aе^bx, то после замены ln a = α, получим:

(4.3)

ln y = α + bx

Модель (4.3) называют полулогарифмической или лог-линейной (поскольку только результат задан в виде логарифма).

После замены переменной = ln y из (4.3) получим линейную модель .

Если в виде логарифма задается только факторный признак (т.е. функция имеет вид y = α + b*ln x), то модель будет линейно-логарифмической (тоже полулогарифмической). Примером такой функции может служить модель зависимости величины валового национального продукта y от денежной массы x, имеющая вид y = a + b*ln x (или y =
= a + b*ln x + ε). Ее можно линеаризовать путем замены переменной z = ln x.

Дата добавления: 2014-01-11