Студопедия

КАТЕГОРИИ:


Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

Виды уравнений, приводимых и неприводимых к линейной зависимости, и основные типы простейших преобразований

Читайте также:
  1. A) Методы геометрических преобразований
  2. I. Основные задачи
  3. I. Основные категории страхования.
  4. I. Основные показатели вариации
  5. I. Основные положения
  6. I. Основные этапы развития знаний об эндокринных железах.
  7. I. Сущность и основные функции перестрахования.
  8. I.3. Основные принципы психологии.
  9. II. Основные задачи и функции
  10. II. Основные направления реформы
  11. II. Основные направления улучшения использования ОФ и производственных мощностей.
  12. II. Основные направления улучшения использования ОФ и производственных мощностей.

Линеаризация нелинейных моделей регрессии

Два класса нелинейных уравнений регрессии

Все виды нелинейных регрессионных моделей можно разбить на два класса:

1) нелинейные относительно факторных переменных, но линейные по оцениваемым параметрам;

2) нелинейные по оцениваемым параметрам.

Отличие этих классов друг от друга состоит в том, что функции, линейные по параметрам, представляют собой линейную комбинацию отдельных функций, для каждой из которых все параметры известны.

В свою очередь, нелинейные по параметрам функции делят на два подкласса:

а) модели, которые можно подвергнуть линеаризации (см. далее) – так называемые внешне нелинейные, но внутренне линейные;

б) модели, которые нельзя подвергнуть линеаризации (внутренне нелинейные) – в них для оценки параметров используются численные итеративные процедуры.

 

Из рассмотренных выше функций к линейным по параметрам относятся все полиномы и гиперболическая функция.

Например, рассмотрим полином второй степени, т.е. квадратическую функцию y = ax2 + bx + c. Эта функция нелинейна, но ее можно представить как линейную комбинацию x2, x и 1 (эти выражения не содержат неизвестных параметров) с весами a, b и c. Эти веса и есть неизвестные параметры, по которым модель линейна.

Если взять в качестве примера гиперболическую функцию у = a/x +
+ b, то она представляет собой линейную комбинацию 1/x и 1 с весами a и b. Здесь оцениваемые параметры - a и b.

Функция вида y = ax1x2 + b – пример полиномиальной множественной регрессии, и она тоже линейна по оцениваемым параметрам (линейно комбинируются x1x2 и 1 с весами a и b).

 

К классу моделей, нелинейных по параметрам, относятся степенная и показательная функции, модифицированная экспонента и т.п. Их невозможно представить в виде линейных комбинаций функций с известными параметрами.

 

 

Проводить эконометрическое исследование с нелинейными функциями часто бывает неудобно, поэтому обычно находят способы преобразовать их в линейные. Преобразование нелинейной функции в линейную называют линеаризацией.

Можно условно выделить два типа линеаризации – через замену переменных и через логарифмирование, хотя эти подходы можно и сочетать.

 

Преобразование путем замены переменных

Обычно этот подход применяют к функциям, линейным по параметрам.

Рассмотрим его на примере гиперболической функции (ее еще иногда называют обратной). В уравнении гиперболы у = a/x + b осуществим замену переменных z = 1/x. После этого уравнение станет линейным: у = az + b. Неизвестные параметры этого уравнения a и b можно найти с помощью МНК.



В качестве еще одного примера рассмотрим функцию y = ax1x2 + b. Осуществим замену переменных следующим образом: x3 = x1x2. Тогда функция примет линейный вид: y = ax3 + b.

 

Логарифмическое преобразование

Этот подход обычно применяют к функциям, нелинейным по параметрам, но внутренне линейным, в результате чего они становятся линейны по параметрам. Затем к ним применяют замену переменных и получают линейные функции.

 

Рассмотрим этот тип линеаризации на примере степенной функции
y = axb. Прологарифмировав обе части уравнения и заменив свободный член
ln a = α, получим:

(4.1)
ln y = α + b*ln x

Модель вида (4.1) принято называть двойной логарифмической моделью, поскольку в ней и результативный, и факторный признаки заданы в логарифмической форме.

Отметим, что степенная функция – нелинейна по параметрам, а нелинейная функция в модели (4.1) – линейна по параметрам, там как представляет собой линейную комбинацию логарифмических функций. Преобразованную модель можно линеаризовать путем замены переменных
z = ln x и = = ln y, после которой уравнение примет вид

(4.2)
,

где α и b - неизвестные параметры (их можно найти с помощью МНК).

 

Если применить логарифмическое преобразование к экспоненциальной функции у = aеbx , то после замены ln a = α, получим:

(4.3)
ln y = α + bx

Модель (4.3) называют полулогарифмической или лог-линейной (поскольку только результат задан в виде логарифма).

После замены переменной = ln y из (4.3) получим линейную модель .

 

Если в виде логарифма задается только факторный признак (т.е. функция имеет вид y = α + b*ln x), то модель будет линейно-логарифмической (тоже полулогарифмической). Примером такой функции может служить модель зависимости величины валового национального продукта y от денежной массы x, имеющая вид y = a + b*ln x (или y =
= a + b*ln x + ε). Ее можно линеаризовать путем замены переменной z = ln x.

 

<== предыдущая лекция | следующая лекция ==>
Основные зависимости между экономическими показателями, описываемые с помощью нелинейных моделей | Показатели оценки качества нелинейных уравнений регрессии

Дата добавления: 2014-01-11; Просмотров: 3011; Нарушение авторских прав?;


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



ПОИСК ПО САЙТУ:


Рекомендуемые страницы:

Читайте также:
studopedia.su - Студопедия (2013 - 2019) год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! Последнее добавление
Генерация страницы за: 0.002 сек.