Случайные величины

Схема повторения испытаний Бернулли.

Допустим, некоторый опыт повторяется многократно. В результате опыта происходит или не происходит событие А. Будем считать испытания независимыми относительно события А, то есть вероятность события А в каждом испытании не зависит от исходов других опытов.

Определение. Последовательность (серия) из n одинаковых опытов, в каждом из которых событие А появляется с одинаковой вероятностью P(A)=p и не зависит от результатов других опытов серии, называется независимыми испытаниями по схеме Бернулли. Появление события А в серии называют «успехом».

Многие практические задачи сводятся к подсчету числа m «успехов» в серии n независимых испытаний по схеме Бернулли.

Пример. Проверка на годность изделий, взятых по одному из партии, если процент брака в партиях одинаков.

Пусть событие В состоит в появлении события А m раз в n испытаниях. Рассмотрим группу событий:

A_i – появление события А в i- м испытании (i = 1, 2, 3,…, n).

Введем обозначения:

.

Очевидно, событие В может быть представлено в следующем виде:

то есть является суммой несовместных событий. Число слагаемых в данной формуле равно числу сочетаний . В силу независимости испытаний вероятности событий-слагаемых одинаковы и равны . Тогда вероятность события В равна

.

Окончательно формула Бернулли для вычисления вероятности появления m «успехов» в n испытаниях принимает вид:

.

Пример. Вероятность выхода за границы допусков при изготовлении детали равна 0,07. Найти вероятность события: из пяти выбранных наудачу деталей одна выходит за границы допусков.

Очевидно, Тогда

В некоторых случаях возникает необходимость найти вероятности более сложных событий, связанных со схемой Бернулли. Пусть k – число «успехов», обозначим -- вероятность события, состоящего в том, что в n испытаниях число «успехов» оказалось меньше m. Тогда по теореме сложения вероятностей

Аналогично выводятся формулы для случаев:

число «успехов» оказалось не более m

,

число «успехов» оказалось не менее m

число «успехов» оказалось не более m₂ и не менее m₁

Серии испытаний могут содержать большое количество опытов (до нескольких десятков тысяч). при этом вычисления по формуле Бернулли весьма затруднительны. Для упрощения вычислений используют асимптотические формулы.

Формула Пуассона. Если n велико, а вероятность p мала, применяется формула

где

Формула Пуассона применяется при условиях: .

Локальная теорема Муавра-Лапласа. Если p и q не слишком малы (), то используется формула

где .

f(x) – функция Гаусса.

Интегральная теорема Муавра-Лапласа. При тех же условиях вероятность того, что число «успехов» находится в пределах, определяемых неравенствами, вычисляется по формуле

где .

Случайной называется величина, которая принимает в результате испытаний значения, заранее неизвестные, меняющиеся от испытания к испытанию. Случайная величина характеризует результат испытания количественно.

Пример случайной величины - размер изделия и т.п.

Дискретной называется случайная величина, которая принимает конечное или счетное множество значений.

Пример -число дефектных изделий в партии.

Непрерывной называется случайная величина, которая может принимать любые значения из некоторого конечного или бесконечного интервала.

Обозначения:

X,Y,Z - случайные величины;

x,y,z - возможные значения случайных величин.

Если мы хотим каким-либо образом задать случайную величину, то основным будет вопрос: как часто в результате испытаний появляются различные возможные значения. Пусть дискретная случайная величина X может принимать значения x₁,x₂,…,x_n. Тот факт, что случайная величина принимает значение x_i,можно считать случайным событием (X=x_i), вероятность которого равна p_i:

P(X= x₁) = p₁, P(X= x₂) = p₂ , …, P(X= x_n) = p_n

Данные события образуют полную группу n несовместных событий, тогда

(5.1)

Законом распределения ( или просто распределением) случайной величины называется закон соответствия между возможными значениями случайной величины и соответствующими им вероятностями.

Случайные величины называются независимыми, если распределение вероятностей одной не зависит от того, какие значения принимает другая. В противном случае случайные величины называются зависимыми.

Распределение дискретной случайной величины может быть задано в виде таблицы:

Таблица 5.1.

X	x1	x2	……	xn-1	xn
p	p1	p2	……	pn-1	pn

В случае бесконечного числа значений задается ряд распределения.

Графически распределение дискретной случайной величины может быть задано многоугольником распределения.

0 x₁ x₂ x_n-1 x_n

Рис.1

Функцией распределеленияслучайной величины называется функция

F(x) = P (X<x),

то есть функция распределения случайной величины определяется как вероятность события, заключающегося в том, что случайная величина X принимает значение меньше x.

Для случайной величины, заданной таблицей 5.1, F(x) определяется формулой:

В интервале -¥ < x £ x₁: F(x)=P(X<x₁)=0;

в интервале x₁ < x £ x₂: F(x)=P(X<x₂)= P(X=x₁)=p₁;

в интервале x₂ < x £ x₃: F(x)=P(X<x₃)= P(X=x₁)+ P(X=x₂)=p₁₊p₂;

……………………………………………………………………………..

в интервале x_n-1 < x £ x_n: F(x)=P(X<x_n)= P(X=x₁)+ P(X=x₂)+…

+ P(X=x_n-1)=p₁₊p₂+…+p_n-1;

в интервале x_n < x £¥: F(x)= p₁₊p₂+…+p_n-1+p_n=1.

Графиком этой функции является ступенчатая линия, которую можно построить, вычисляя значения функции в интервалах, на которые делится числовая ось возможными значениями x_i.

Рис.2

Непрерывные случайные величины задать табличным способом невозможно. Их можно задать, задавая функцию распределения, удовлетворяющую некоторым свойствам.

Свойства функции F(x) следуют непосредственно из определения.

1. 0 £ F(x)£1;

2. F(x) - неубывающая функция;

3. F(-¥)= 0, F(¥)=1.

Любая функция, удовлетворяющая трем сформулированным условиям, может рассматриваться как функция распределения некоторой случайной величины.

При решении практических задач важнейшим вопросом является вопрос о попадании случайной величины в определенный интервал (a,b), то есть, как правило, требуется определить P(xÎ(a,b))= P(a<X<b). Ответна вопрос дают доказанные ниже теоремы.

Теорема 5.1. Если задана функция распределения, то выполняется равенство:

P(a£ X<b) = F(b) - F(a) (5.2)

Дата добавления: 2014-01-20