Изоморфизм и гомоморфизм

В строго математическом смысле изоморфизм двух систем: S₁: Х₁→Y₁, S₂: Х₂→Y₂ означает, что между входами и выходами обеих систем существует взаимно однозначное соответствие:

(2.1)

где h_x, h_y – отношения изоморфизма, или

(2.2)

такие, что

(2.3)

Понятие изоморфизма систем распространяется и на структурные, и на поведенческие характеристики систем.

Пусть G₁ = , G₂ = – структура систем S₁ и S₂, , множество состояний систем S₁ и S_2.

Изоморфизм структур систем S₁ и S₂ означает, что:

(2.4)

Изоморфизм состояний:

(2.5)

Системы S1 и S2, между которыми существует отношение изомор­физма, называются изоморфными.

Так, например, изоморфны местность и географическая карта, объект съемки и фотография, снимок и негатив и т. д.

Наличие изоморфизма между системой-оригиналом и системой-моделью характеризует весьма высокую степень адекватности, обеспечение которой при построении модели сопряжено с большими трудностями и, во­обще говоря, не является необходимым. При построении моделей исследо­ватель, руководствуясь конкретными целями, выделяет лишь наиболее су­щественные факторы, присущие реальной системе, которые в модели долж­ны быть отражены с максимальной полнотой и точностью, требуемой в данном исследовании. Остальные, несущественные факторы могут отра­жаться в модели либо с меньшей точностью, либо могут быть исключены. Это является преимуществом модели, поскольку позволяет проводить ис­следование на более простом, по сравнению с реальным, объекте. Отсутст­вие полного совпадения всех характеристик модели и оригинала, особенно в области экономико-математического моделирования, не позволяет утвер­ждать наличие изоморфизма между реальной системой и ее моделью.

Важным частным случаем соотношения «оригинал-модель» является отношение гомоморфизма, при котором между системами S1 и S2 сущест­вует однозначно-прямое и неоднозначно-обратное соответствие. Так, модель, полученная из реальной системы путем ее упрощения (например, за счет уменьшения числа переменных путем их объединения), является го­моморфной моделью.

Пусть S1: Х1→Y1, S2: Х2→Y2 – система-оригинал и её модель, а – гомоморфизм из Х1Y1, в Х2Y2, причем отображение hx – сюръективно. Отображение hx называется сюръективным (накрытием, или отображением на), если для каждого x2 X2 найдется такое x1 X1, что hx(x1)=x2. Иначе hx(X1)=Х2. Тогда система S2 называется гомоморфной моделью S1 в том и только в том случае, когда

(2.6)

Аналогично определяется понятие гомоморфных моделей для струк­турированных и динамических систем.

Дата добавления: 2014-01-11