Учет реальных свойств ферромагнитных сердечников при переменных полях

При инженерных расчетах технических устройств, содержащих ферромагнитные сердечники и работающих при переменном токе недопустимо пренебрегать потерями в стали, т.е. той частью энергии, которая расходуется на нагрев стали, обусловленный явлением гистерезиса и вихревыми токами, так как именно этими явлениями и обусловлены потери энергии, величина которых определяет тепловой режим работы устройств.

Вихревые токи возникают в стальном сердечнике под влиянием электрического поля, наводимого в ферромагнитном сердечнике переменным магнитным потоком. На рис.2-19 схематически показано распределение вихревых токов в массивном сердечнике.

Рис.2-19 Распределение вихревых токов в массивном сердечнике

Кроме потерь энергии, вихревые токи производят размагничивающее действие.

Пусть по катушке протекает синусоидальный ток (рис.2-20).

Рис.2-20. Синусоидальный ток в катушке

Рассмотрим процессы во всех четырех четвертях периода синусоидального тока.

На рис.2-21 рассмотрены процессы, происходящие в первую четверть периода при изменении 0 ≤ t

Рис.2-21. Первая четверть периода

В первую четверть периода ток возрастает от нуля до максимального значения. Направление тока i в обмотке показано на чертеже. Направление магнитного потока Ф, возникающего при протекании синусоидального тока по обмотке, можно определить по правилу правоходового винта. Вращаем головку винта по направлению тока и направление движения винта даст направление магнитного потока Ф.

Из рис.2-21 видно, что магнитный поток Ф направлен внутрь ферромагнитного сердечника. Согласно правилу Ленца магнитный поток от вихревых токов всегда препятствует изменению основного магнитного потока Ф. В первую четверть периода ток i и связанный с ним магнитный поток Ф возрастают от нуля до максимального значения. Поток от вихревых потоков препятствует возрастанию основного магнитного потока Ф и поэтому направлен ему на встречу. Направление вихревых токов можно определить по правилу правоходового винта. В данном случае вихревые токи будут направлены против часовой стрелки.

Таким образом, в первую четверть периода наблюдается эффект размагничивания, т.е. уменьшение основного магнитного потока Ф за счет потока от вихревых токов

Рис.2-22. Вторая четверть периода

Во вторую четверть периода направление тока i не изменилось. Поэтому основной магнитный поток Ф направлен так же, как и в предыдущую четверть периода (рис.2-22).

Но теперь поток i и связный с ним магнитный поток Ф убывают от максимального значения до нуля. Теперь поток от вихревых токов препятствует убыванию основного магнитного потока Ф, т.е. направление с ним согласно. Направление вихревых токов изменилось на противоположное.

Во вторую четверть периода нет эффекта размагничивания.

Рис.2-23. Третья четверть периода

В третью четверть периода направление тока сменилось на противоположное. Поэтому основной магнитный поток Ф направлен теперь в противоположную сторону (рис.2-23).

Теперь ток i и связанный с ним магнитный поток Ф возрастают от нуля до максимального значения. Поток от вихревых токов теперь препятствует возрастанию основного магнитного потока Ф, т.е. направлен ему на встречу. Направление вихревых токов остается прежним.

В третью четверть периода также наблюдается эффект размагничивания.

Рис.2-24. Четвертая четверть периода

В четвертую четверть периода направление тока i осталось прежним. Поэтому и основной магнитный поток Ф не изменил своего направления.

Но теперь ток i и связанный с ним магнитный поток Ф убывают от максимального значения до нуля. Поток от вихревых токов теперь препятствует убыванию основного магнитного потока, т.е. направлен с ним согласно. Направление вихревых токов сменилось на противоположное.

В четвертую четверть периода не наблюдается эффекта размагничивания.

Размагничивающее действие сильнее сказывается в середине сердечника и меньше на его поверхности. Это объясняется тем, что средние участки сердечника охватываются большим количеством вихревых токов, чем участки, близкие в поверхности сердечника. Поэтому распределение магнитного поля по сердечнику оказывается неравномерным. Индукция больше на поверхности сердечника и меньше внутри него. Это так называемый поверхностный эффект. Он начинает сказываться при частотах порядка тысяч герц и выше.

Для уменьшения потерь от вихревых токов сердечники используются не цельные, а шихтованные, т.е. набранные из отдельных пластин, электрически изолированных друг от друга.

Рис.2-25. Шихтованный сердечник с обмоткой

На рис.2-25 изображен шихтованный сердечник с намотанной на него обмоткой, по которой протекает синусоидальный ток i.

На рис.2-25 сделаны следующее обозначения:

толщина одной пластины;

высота пластины;

ширина одной пластины;

Вихревой ток замыкается в схеме длиной. Но поскольку, то можно считать, что длина вихревого тока 2h;

Поперечное сечение вихревого тока;

Сечение для магнитного потока.

Покажем приближённый вывод формулы потерь от вихревых токов. Вихревые токи вызываются вихревыми ЭДС:

(2-19)

где Ф – изменяющийся магнитный поток, распределенный по сечению магнитопровода.

Элементарный вихревой ток циркулирует в слое толщиной (рис.2-25). Активное сопротивление этого элементарного вихревого тока на пути длиной и сечением равно:

(2-20)

где удельное электрическое сопротивление материала магнитопровода. При частотах порядка несколько сотен герц можно принять не зависящим от частоты.

Если допустить, что индукция распределена равномерно по сечению листа и равна, то ЭДС в контуре:

; (2-21)

Отдельно запишем амплитуду вихревых ЭДС:

; (2-21)

Действующее значение вихревой ЭДС:

. (2-22)

Найдем далее мощность, расходуемую на элементарном пути вихревого тока:

(2-23)

Мощность, расходуемая во всем листе:

. (2-24)

Найдем теперь удельные потери от вихревых токов:

, (2-25)

где плотность стали;

, (2-26)

коэффициент, зависящий от сорта стали и толщины листа.

Из выражения (2-25) видно, что потери на вихревые токи прямо пропорциональны квадрату частоты ƒ, квадрату толщины листа и обратно пропорциональны удельному электрическому сопротивлению и плотности стали.

Следовательно, простейшим способом уменьшения потерь на вихревые токи является уменьшение толщины листа.

Инженерная практика выработала следующие рекомендации: при частоте 50 Гц применяются листы толщиной 0,35-0,5мм; при частоте 400 Гц – толщиной 0,1-0,35мм; при звуковых частотах порядка 400-2000 Гц – толщиной 0,02-0,05мм. Для частоты 30-50 Гц применяются сердечники, выполненные из магнитодиэлектриков – ферритов, которые состоят из ферромагнитного порошка с размерами частиц порядка нескольких микрон и связующего эти частицы диэлектрика.

Из выражения (2-25) так же видно, что второй путь уменьшения потерь на вихревые токи – это применение материала с большим удельным электрическим сопротивлением. Для этого в электрические стали вводятся различные присадки, увеличивающие удельное сопротивление.

Потери на вихревые токи во всём сердечнике:

, (2-27)

где G – вес сердечника, кг.

Периодическое перемагничивание стали сопряжено с потерями энергии, обусловленными гистерезисом. Мощность потерь от гистерезиса определяется по различным эмпирическим формулам, например одна из них:

, (2-28)

где коэффициент, зависящий от сорта стали;

коэффициент n зависит от индукции в сердечнике:

при Тл коэффициент n=1,6;

при Тл коэффициент n=2.

10.Векторная диаграмма и схема замещения катушки со сталью без учёта сопротивления катушки и рассеяния магнитного потока

Рассмотрим простейшую схему питания катушки со сталью от источника синусоидального напряжения (рис.2-26). Допустим, что сопротивлением обмотки и рассеянием магнитного потока можно пренебречь.

Рис.2-26. Питание катушки со сталью от источника синусоидального напряжения

Пусть напряжение питания. Комплекс действующего значения U̇=U,т.е. вектор напряжения направлен по мнимой оси комплексной плоскости.

Для схемы рис.2-26 второй закон Кирхгофа будет выглядеть:

. (2-29)

Здесь падение напряжения на активном сопротивлении обмотки;

падение напряжение на катушке со сталью;

число витков катушки.

Так как активным сопротивлением обмотки пренебрегаем, то первое слагаемое в выражении (2-29) исчезает:

.

Разделим переменные:

.

Возьмем интеграл от левой и правой частей:

. (2-30)

Таким образом, если питать катушку со сталью от источника синусоидального напряжения, то форма кривой магнитного потока также будет синусоидальной, но магнитный поток будет отставать по фазе от напряжения на (рис.2-27).

Рис.2-27. Графики напряжения, тока, магнитного потока в катушке со сталью

(2-31)

Комплексная амплитуда потока:

, (2-32)

т.е. комплексная амплитуда потока направлена по вещественной оси комплексной плоскости.

Отдельно запишем амплитуду магнитного потока:

(2-33)

здесь ω-циклическая частота сети.

Отсюда:

Найдём теперь действующее значение напряжения:

(2-34)

Здесь: - частота питающей сети;

S – сечение магнитопровода;

- амплитуда магнитной индукции.

Получилась известная формула связи между действующим значением напряжения питания и амплитудой магнитной индукции или магнитного потока.

Частота, циклическая частота ω, число витков w, сечение магнитопровода S – постоянные величины. Поэтому, меняя величину питающего напряжения, мы тем самым меняем положение рабочей точки на кривой намагничивания или на вебер-амперной характеристике.

На рис.2-27 изображена также реальная пико образная кривая тока i в катушке со сталью с учетом гистерезиса (обозначена жирной линией). Эту несинусоидальную кривую тока можно заменить эквивалентной синусоидальной (обозначена штриховой линией). При замене должно быть соблюдено два условия: 1) действующее значение несинусоидальной пикообразной кривой тока должно равняться действующему значению эквивалентной синусоиды; 2) активная мощность реального несинусоидального тока должна равняться активной мощности эквивалентного синусоидального тока.

Выполнение второго условия позволяет найти угол сдвига φ между напряжением и эквивалентным синусоидальным током:

. (2-35)

На рис.2-27 угол δ дополняет угол φ до 90°:

φ+δ=90°.

Запишем выражение (2-34) в комплексной форме:

(2-36)

Множитель j в выражении (2-36) означает, что вектор питающего напряжения относительно комплексной амплитуды магнитного потока повернут на плюс 90°, т.е. против часовой стрелки. Изобразим это на комплексной плоскости (рис.2-28).

Рис.2-28. Векторная диаграмма последовательной схемы замещения катушки со сталью

На рис. 2-27 и рис.2-28 вектор тока отстает на угол φ от вектора напряжения в силу индуктивного характера.

Последовательная схема замещения катушки со сталью содержит два элемента и.

-это активное сопротивление, учитывающее потери в стали на гистерезис и вихревые токи;

-это индуктивное сопротивление катушки со сталью, учитывающее нелинейную зависимость между потоком и током. Величина зависит от положения рабочей точки на вебер-амперной характеристике.

На рис. 2-29 показана последовательная схема замещения катушки со сталью.

Рис.2-29. Последовательная схема замещения катушки со сталью

Второй закон Кирхгофа для схемы рис.2-29 выглядит следующим образом:

(2-37)

Изобразим эти слагаемые напряжения на комплексной плоскости. Вектор совпадает по фазе с вектором тока. Вектор из-за наличия j опережает вектор тока на 90°. Векторная сумма этих двух векторов равна вектору питающего напряжения. Всё это видно на векторной диаграмме рис.2-28.

(2-38)

; (2-39)

Здесь - комплексное сопротивление катушки со сталью.

Покажем, как производится расчёт последовательной схемы замещения.

Перед расчётом задано: сечение магнитопровода S, линейные размеры и вес G магнитопровода, число витков катушки w, частота питающей сети f, амплитуда магнитной индукции в сердечнике, удельная активная мощность, удельная реактивная мощность.

В результате расчёта надо определить: действующее значение напряжения питания U, активное сопротивление, реактивное сопротивление, комплексное сопротивление катушки со сталью, углы φ и δ. И построить векторную диаграмму.

Расчёт будем вести в следующей последовательности:

1) Находим действующее значение напряжения питания по формуле:

2) Находим активную мощность потерь в стали и реактивную мощность:

3) Находим полную мощность S и угол φ:

4) Находим действующее значение эквивалентного синусоидального тока, модуль комплексного сопротивления и активное и реактивное сопротивления:

;

5) Определяем активную мощность и реактивную мощность по схеме замещения и сверяем с расчётом по п.2:

Параллельная схема замещения катушки со сталью также содержит два элемента и (рис.2-30).

-это активная составляющая комплексной проводимости катушки со сталью, учитывающая потери в стали сердечника на гистерезис и вихревые токи.

-это реактивная составляющая комплексной проводимости катушки со сталью, учитывающая нелинейную зависимость между потоком и током. Величина зависит от положения рабочей точки на вебер-амперной характеристике.

Рис.2-30. Параллельная схема замещения катушки со сталью

В этом случае вместо комплексного сопротивления катушки со сталью комплексная проводимость катушки со сталью

Числитель и знаменатель первого выражения умножим на сопряжённый комплекс, чтобы избавиться от j в знаменателе.

;

Далее запишем закон Ома через комплексную проводимость:

Это получилось после подстановки В схеме замещения рис.2-30 обозначены: -ток потерь в стали, -намагничивающий поток.

.

Изобразим векторную диаграмму для параллельной схемы замещения (рис.2-31).

Рис.2-31. Векторная диаграмма параллельной схемы замещения катушки со сталью

Вектор совпадает по фазе с вектором питающего напряжения. Вектор из-за наличия –j отстаёт от вектора напряжения на 90°. Векторная сумма этих двух векторов даёт вектор.

Намагничивающий ток отложен по вещественной оси комплексной плоскости, а ток потерь в стали -по мнимой из-за наличия множителя j. Активная и реактивная мощности по схеме рис.2-31 равны:

Покажем, как производится расчёт параллельной схемы замещения.

Перед расчётом заданы: размеры магнитопровода,

В результате расчёта требуется определить: И построить векторную диаграмму.

Расчёт будем вети в следующей последовательности:

1)

2)

3);

4)

5)

А теперь объединим векторные диаграммы рис.2-28 и рис 2-31 (рис.2-32).

Рис.2-32. Векторная диаграмма катушки со сталью

11.Векторная диаграмма и схема замещения катушки со сталью с учётом активного сопротивления обмотки и рассеяния магнитного потока

В реальной катушке со сталью нельзя пренебрегать активным сопротивлением R. Кроме того часть магнитного потока замыкается по воздуху. Эту часть магнитного потока называют потоком рассеяния. При малом насыщении стали поток состовляет всего несколько процентов от потока, замыкающегося по магнитопроводу. Однако при большом насыщении или когда в сердечнике имеется относительно большой воздушный зазор δ, поток оказывается соизмеримым с.

На рис.2-33 изображена схема питания катушки со сталью.

Рис.2-33. Схема питания катушки со сталью

При построении векторной диаграммы заменим несинусоидальный пикообразный ток эквивалентным синусоидальным. Отношение потокосцепления рассеяния к току I принято называть индуктивностью рассеяния и обозначать:

(2-40)

Индуктивное сопротивление называют индуктивным сопротивлением рассеяния:

. (2-41)

Схема замещения на рис.2-34 отличается от схемы рис.2-30 тем, что в ней добавлены активное сопротивление катушки R и индуктивное сопротивление рассеяния.

Рис.2-34. Схема замещения катушки со сталью с учётом активного сопротивления катушки и рассеяния магнитного потока

В схеме рис.2-34 обозначено комплексное напряжение на катушке со сталью

(2-42)

Теперь второй закон Кирхгофа запишется следующим образом:

(2-43)

Выражением (2-43) можно пользоваться для построения векторной диаграммы. Направляем комплексную амплитуду потока по вещественной оси комплексной плоскости (рис.2-35).

Рис.2-35. Векторная диаграмма катушки со сталью

Вектор из-за наличия множителя j повёрнут относительно вектора на плюс 90°, т.е. направлен по мнимой оси. К концу вектора параллельно вектору тока пристраивается вектор. К концу вектора пристраивается вектор, который из-за наличия множителя j повёрнут относительно тока на плюс 90°. Векторная сумма трёх факторов, и даёт вектор напряжения питания.

Заметим, что теперь на векторной диаграмме рис.2-35 сумма углов δ+φ не равняется. Т.е. вектор питающего напряжения может оказаться либо во второй четверти, либо в первой четверти комплексной плоскости.

Дата добавления: 2014-01-20