Департамент образования Г. Москвы

Педагогический колледж №8

Курс лекций

к экспериментальной программе

"Теория и методика

начального курса математики"

(ТОНКМ С методикой её преподавания)

Составитель: Гаврилин Н.Н.,

преподаватель математики.

Москва

Содержание

Вопрос 1. Особенности математических понятий. Объем и содержание понятия. Структура определения понятия через род и видовое отличие. Способы определения понятий в начальном курсе математики. Ознакомление учащихся с геометрическими фигурами: прямоугольником, квадратом и их свойствами. Обучение учащихся распознаванию этих фигур. 4

Вопрос 2. Понятие высказывания и высказывательной формы. Высказывания с кванторами, способы установления значения их истинности. Приемы ознакомления учащихся младших классов с высказываниями, содержащими квантор общности (свойствами арифметических действий, геометрических фигур, правилами) 6

Вопрос 3. Понятие дедуктивного умозаключения. Простейшие схемы дедуктивных умозаключений. Примеры дедуктивных умозаключений из начального курса математики. Обучение доказательству младших школьников. 8

Вопрос 4. Понятие текстовой задачи, её структура. Основные этапы решения задачи и приёмы их выполнения. Методика формирования понятия «задача» в начальном курсе математики. Различные методические подходы к формированию умения решать задачи. 10

Вопрос 5. Определение отношений "больше на…" и "меньше на…" на множестве натуральных чисел, их теоретико-множественный смысл и способы моделирования. Методика формирования понятий "больше на…" и "меньше на…" в начальном курсе математики. Обучение младших школьников решению текстовых задач с данными отношениями. 12

Вопрос 6. Определение отношений "больше в … раз" и "меньше в … раз" для натуральных чисел, их теоретико-множественный смысл и способы моделирования. Методика формирования понятий "больше в … раз" и "меньше в … раз" в начальном курсе математики. Обучение младших школьников решению текстовых задач с данными отношениями. 14

Вопрос 7. Понятие разбиения множества на попарно непересекающиеся подмножества (классы). Отношение эквивалентности и его связь с разбиением множества на классы. Использование приема классификации при обучении математике в начальных классах. 16

Вопрос 8. Определение числовой функции. Способы задания функции. Прямая и обратная пропорциональности, их свойства и графики. Методика обучения решению задач с прямо пропорциональными и обратно пропорциональными величинами. 18

Вопрос 9. Понятие числового выражения и выражения с переменной. Тождественные преобразования выражений. Числовые равенства и неравенства, их основные свойства. Формирование понятия выражения в начальном курсе математики. Обучение нахождению значения выражений, содержащих более двух действий, в том числе и со скобками. Ознакомление учащихся с правилами порядка выполнения действий. 21

Вопрос 10. Понятие уравнения с одной переменной. Равносильные уравнения. Теоремы о равносильности уравнений. Формирование представлений об уравнении в начальном курсе математики. Методика обучения решению простейших уравнений. 24

Вопрос 11. Понятие отрезка натурального ряда чисел и счёта элементов конечного множества. Теоретико-множественный смысл натурального числа и нуля. Натуральное число как результат измерения величины. Определение отношения «меньше» для натуральных чисел, его теоретико-множественный смысл. Формирование у младших школьников представлений о счёте, порядковом и количественном числе, последовательности и названии чисел натурального ряда. Методика формирования у младших школьников понятий «меньше» и «больше» для натуральных чисел. 26

Вопрос 12. Теоретико-множественный смысл суммы натуральных чисел, смысл суммы натуральных чисел, полученных в результате измерения величин. Ознакомление учащихся младших классов со смыслом сложения. Типы ситуаций с предметными множествами, раскрывающими смысл сложения. 28

Вопрос 13. Теоретико-множественный смысл разности натуральных чисел. Условие существования разности на множестве натуральных чисел. Смысл разности натуральных чисел, полученных в результате измерения величин. Ознакомление учащихся младших классов со смыслом вычитания. Типы ситуаций с предметными действиями, раскрывающие смысл вычитания. 30

Вопрос 14. Определение умножения натуральных чисел через сложение, его теоретико-множественный смысл. Смысл произведения натуральных чисел, полученных в результате измерения величин. Методика ознакомления учащихся начальных классов со смыслом умножения целых неотрицательных чисел. 33

Вопрос 15. Теоретико-множественный смысл частного натуральных чисел. Условие существования частного натуральных чисел. Смысл частного натуральных чисел, полученных в результате измерения величин. Методика ознакомления учащихся начальных классов со смыслом деления натуральных чисел. 35

Вопрос 16. Множество целых неотрицательных чисел. Теоретико-множественный смысл нуля. Определение действий с нулем. Невозможность деления на нуль (с обоснованием). Методика ознакомления учащихся со случаями умножения и деления с 0 и 1. 37

Вопрос 17. Свойства сложения натуральных чисел, их назначение. Теоретико-множественный смысл этих свойств. Методика изучения свойств сложения в начальном курсе математики. Использование этих свойств при формировании устных приемов сложения чисел............................................................................ 39

Вопрос 18. Правила вычитания числа из суммы и суммы из числа, их теоретико-множественная интерпретация. Методика изучения правил вычитания в начальном курсе математики, их использование для устных приемов вычитания чисел. 40

Вопрос 19. Правила деления суммы на число и произведения на число, их теоретико-множественная интерпретация. Методика изучения этих правил деления в начальном курсе математики и их использование для устных приемов деления чисел. 42

Вопрос 20. Определение деления с остатком на множестве целых неотрицательных чисел, его теоретико-множественный смысл. Знакомство с понятием «деление с остатком» в начальном курсе математики. Обучение младших школьников приемам деления с остатком. 44

Вопрос 21. Свойства умножения натуральных чисел, их назначение и теоретико-множественная интерпретация. Методика изучения свойств умножения в начальном курсе математики. Использование этих свойств при формировании устных приемов умножения чисел. 46

Вопрос 22. Позиционные и непозиционные системы счисления. Особенности десятичной системы счисления. Сравнение чисел, записанных в этой системе. Методика изучения нумерации в пределах сотни, тысячи и миллиона. 47

Вопрос 23. Алгоритм сложения многозначных чисел в десятичной системе счисления; теоретические факты, лежащие в его основе. Методика ознакомления учащихся с алгоритмом письменного сложения. Формирование навыков письменного сложения. 50

Вопрос 24. Алгоритм вычитания многозначных чисел в десятичной системе счисления, теоретические факты, лежащие в его основе. Методика ознакомления учащихся с алгоритмом письменного вычитания. Формирование навыков письменного вычитания. 52

Вопрос 25. Алгоритм умножения многозначных чисел в десятичной системе счисления Теоретические факты, лежащие в его основе. Методика ознакомления учащихся с алгоритмом письменного умножения. Формирование навыков письменного умножения. 55

Вопрос 26. Алгоритм деления многозначных чисел в десятичной системе счисления, теоретические факты, лежащие в его основе. Методика ознакомления учащихся с алгоритмом письменного деления. Формирование навыков письменного деления. 57

Вопрос 27. Понятие положительной скалярной величины и ее измерения. Действия с величинами одного рода. Связь этих действий с действиями над числами. Методика формирования представлений о времени в начальном курсе математики. 59

Вопрос 28. Понятие длины отрезка и ее измерения. Действия над длинами. Методика формирования представлений о длине отрезков в начальном курсе математики. Ознакомление с единицами длины и их соотношением. 60

Вопрос 29. Понятие площади фигуры и ее измерения. Равновеликие фигуры. Измерение площади при помощи палетки. Теорема о площади прямоугольника. Методика формирования у младших школьников представлений о площади и ее измерении. Ознакомление с единицами площади и их соотношением. 62

Вопрос 30. Понятие дроби и положительного рационального числа. Определение арифметического действия над положительным рациональным числом. Свойства сложения и умножения положительного рационального числа. Методика изучения доли в начальном курсе математики. 64

Вопрос 1. Особенности математических понятий. Объем и содержание понятия. Структура определения понятия через род и видовое отличие. Способы определения понятий в начальном курсе математики. Ознакомление учащихся с геометрическими фигурами: прямоугольником, квадратом и их свойствами. Обучение учащихся распознаванию этих фигур

Понятие - это логическая категория, которая в логике рассматривается, как форма мысли, отражающая объекты (предметы или явления) в их существенных и общих свойствах. Т.О понятие – это мысль, в которой отражаются существенные признаки объектов. Математические понятия обладают рядом особенностей. Главная заключается в том, что математические объекты, о которых необходимо составить понятие, в реальности не существуют. Они созданы умом человека. Когда говорят о математическом понятии, то обычно имеют в виду множество объектов, обозначаемых одним термином. Термин – это слово или словосочетание, которым обозначается понятие. Пример: Считают, что множество всех квадратов составляет объем понятия «квадрат».

Объем понятия – всё множество объектов, называемых одним термином. Любое понятие имеет не только объем, но и содержание. Содержание понятия – всё множество существенных признаков (свойств), однозначно определяющих принадлежность объекта объему данного понятия. Пример: Рассмотрим понятие «прямоугольник». Объем понятия – множество различных прямоугольников, а в его содержание входят такие свойства прямоугольников, как «иметь четыре прямых угла», «иметь равные противоположные стороны», «иметь равные диагонали» и т.д. Между объемом и содержанием понятия существует обратно пропорциональная зависимость.

Пример: Объем понятия «квадрат» является частью объема понятия «прямоугольник», а в содержании понятия «квадрат» содержится больше свойств, чем в содержании понятия «прямоугольник». Появление в математике новых понятий, а значит, и новых терминов, предполагает их определения.

Определением понятия называется логическая операция, раскрывающая содержание данного понятия. Чаще всего это повествовательное предложение, разъясняющее суть нового термина. Определяют понятия, как правило, на основе ранее изученного термина. Но в любом определении можно выделить две части – определяемое понятие (новый термин) и определяющее понятие (ранее изученный термин и свойства нового понятия). Пример: Прямоугольник можно определить так: «прямоугольник - это четырехугольник, у которого все углы прямые». В этом определении есть две части – определяемое понятие (прямоугольник) и определяющее (четырехугольник, у которого все углы прямые). Если мы обозначим буквой a определяемое понятие, а буквой b определяющее, то можно записать, что a есть b; а равносильно b по определению; a тогда и только тогда, когда b - такие определения называются явными.

Если рассматривать определяющее понятие, то можно выделить:

1. понятие «четырехугольник», которое является родовым по отношению к понятию «прямоугольник»;

2. свойство «иметь все углы прямые», которое позволяет выделить из всевозможных четырехугольников один вид – прямоугольники, поэтому его называют видовым отличием.

Вообще, видовое отличие – это свойства, которые позволяют выделить определяемые объекты из объема родового понятия. Все выше сказанное можно представить в виде схемы.

Определяемое понятие	=	Родовое понятие	+	Видовое отличие
	Определяющее понятие

Формулируя определения, нужно придерживаться ряда правил:

1. Определение должно быть соразмерным, то есть объемы определяемого и определяющего понятий не должны совпадать.

2. Не должно быть порочного круга, то есть в определяющем понятии не должно быть определяемого.

3. Определение должно быть ясным, то есть термины должны быть известны.

Через род и видовое отличие можно по-разному определить одно и то же понятие. Для того чтобы правильно дать определение нужно:

1. Назвать термин.

2. Указать ближайшее родовое понятие.

3. Перечислить свойства, выделяющие объекты из объема родового понятия.

4. Соблюдать правила определения понятия.

В начальном курсе математики выделяются четыре группы понятий:

· Понятия, связанные с числами, операциями над ними и отношениями между ними

· Алгебраические понятия (выражение, равенство и др.)

· Геометрические понятия (прямая, отрезок и др.)

· Понятия, связанные с величинами и их измерением

В методике преподавания курса математики различают несколько способов определения понятий:

· явный способ, структура которого содержит две части – определяющее и определяемое понятие (прямоугольник – это четырехугольник, у которого все углы прямые.) (Моро М.И. 2кл.(1-4) стр. 52);

· неявный, в их структуре нельзя выделить определяемое и определяющее понятие. Среди них различают: контекстуальные – раскрытие нового понятия через отрывок текста, через контекст (Моро М.И. 3кл.1ч. (1-4) стр.10); остенсивные – определение путем показа. Они используются для введения терминов путем демонстрации объектов, которые этими терминами обозначают. (Истомина Н.Б. 2кл.(1-4) стр.66-67).

Основой формирования у детей представлений о геометрических фигурах является способность их к восприятию формы. Эта способность позволяет ребенку узнавать, различать и изображать различные геометрические фигуры: квадрат, прямоугольник и т.д. Для этого достаточно показать ему ту или иную геометрическую фигуру и назвать ее соответствующим термином. Например: это квадраты (рис. 1), это прямоугольники (рис. 2).

Рис. 1 Рис. 2

Такое знакомство учащихся с геометрическими фигурами позволяет им воспринимать их как целостный образ, поэтому, если изменить расположение или размер тех фигур, которые были предложены в образце, дети могут допускать ошибки. Поэтому восприятие геометрической фигуры как целостного образа – лишь первый этап в формировании геометрических представлений ребенка. В дальнейшем необходимо сосредоточить его внимание на выделении тех элементов, из которых состоят геометрические фигуры, и на их существенных признаках. Для этой цели геометрические фигуры изучают в определенной последовательности, выполняя с моделями различные практические действия. Рассмотрим возможный вариант такого изучения.

Определенную трудность для младших школьников представляет осознание того, что любой квадрат является прямоугольником. Причина в том, что целостный образ квадрата и прямоугольника уже сложился у большинства детей, а умением выделять существенные признаки фигуры они еще не овладели. Поэтому очень важно продумать последовательность вопросов, организующих деятельность детей, направленную на выделение существенных признаков прямоугольника и квадрата. Для этой цели учитель может поместить на фланелеграфе различные фигуры. Сначала следует выяснить, как можно их назвать (многоугольники). Затем предложить учащимся показать и назвать многоугольники, у которых три угла и три стороны; четыре угла и четыре стороны и т.д. После этого предложить им оставить на фланелеграфе только четырехугольники. Затем из них выделить те, у которых один, два, три, четыре прямых угла (учащиеся догадываются или им сообщается, что четырехугольников с тремя прямыми углами не может быть). Дети выполняют задание учителя, сначала прикладывая «на глаз», какие углы могут быть прямыми, затем проверяют свое предположение с помощью модели прямого угла. В результате выделяются четырехугольники, у которых все углы прямые. Они имеют название – прямоугольники. Среди прямоугольников можно выделить такие, у которых все стороны равны. Это квадраты. Отношения между понятиями многоугольник, четырехугольник, прямоугольник, квадрат представлены схематически.

 

 

 

Квадраты

Прямоугольники

Четырехугольники

Многоугольники

Эту схему можно затем использовать для проведения различных игр, например игры «Где мое место?». Для этого двум ученикам дается одинаковое количество различных многоугольников. Побеждает тот, кто быстро и правильно заполнит схему фигурами.

Так как первоначально даваемый образ является наиболее устойчивым, то в начальной школе особенно важно дать правильное представление о вводимых понятиях. Средство формирования понятий - система специально подобранных заданий, раскрывающая сущность понятия. При составлении таких заданий следует ориентироваться на следующие умения учащихся, которые характеризуют сформированность понятия:

· Давать, если того требует программа определение понятия.

· Самостоятельно формулировать существенные признаки понятия.

· Подводить объект под понятие.

· Выводить следствия из факта принадлежности объекта объему данного понятия.

· строить объект, принадлежащий объему данного понятия.

· приводить свои примеры объектов как принадлежащих, так и не принадлежащих понятию.

· рассматривать объект в плане разных понятий.

Исходя из этих умений, система закрепляющих упражнений может быть такая:

· Назовите фигуру, которую вы видите. Дайте определение этой фигуре.

· Чем отличается данная фигура от остальных?

· Приведите пример фигуры, у которой …… или которая…..

· Если фигура является ………, то, что это значит?

· Изобразите фигуру, которая называется …….

· Выберите (покажите, нарисуйте) фигуры, которые являются ………., не являются………

• Чем похожи фигуры? Чем отличаются?

Таким образом, для лучшего усвоения геометрических понятий нужно предлагать учащимся следующие задания: назвать существенные признаки понятия, выбрать из предложенных геометрических фигур данное понятие, указать равные стороны, углы, самостоятельно начертить, привести примеры геометрических фигур, которые не являются данным понятием, найти в окружающей обстановке данное понятие.

Вопрос 2. Понятие высказывания и высказывательной формы. Высказывания с кванторами, способы установления значения их истинности. Приемы ознакомления учащихся младших классов с высказываниями, содержащими квантор общности (свойствами арифметических действий, геометрических фигур, правилами)

Высказыванием в математике называют предложение, относительно которого имеет смысл вопрос: истинно оно или ложно. Пример: предложение «число 12 – чётное» является высказыванием, и оно истинно. Предложение «2+5>8» является высказыванием, и оно ложно. Высказывания принято обозначать прописными буквами латинского алфавита: A, B, C… Z. Если высказывание А истинно, то записывают А – «и», если оно ложно, то записывают А – «л», можно также использовать элементы булевой алгебры, где «1» - истинное высказывание, а «0» - ложное. «Истина» и «ложь» называются значениями истинности высказывания. Каждое высказывание либо истинно, либо ложно, быть одновременно и тем и другим оно не может.

Предложение «х+5=8» называется высказывательной формой, т.к. относительно него нельзя сказать истинно оно или ложно, оно порождает множество высказываний одной и той же формы. Пример: при х=2 высказывание «х+5=8» ложное, а при х=3 – истинное. По числу переменных, входящих в высказывательную форму различают одноместные, двуместные и т.д. высказывательные формы и обозначают: А(х), А(х,у). Пример: х+5=8 – одноместная высказывательная форма, а предложение «прямая х параллельна прямой у» - двуместная (понятие высказывательной формы, содержащей 2 и более переменных, определяется аналогично). Значения переменной, которые обращают высказывательную форму в истинное высказывание, называют множеством истинности высказывательной формы. Например: х>5, множество истинности (5; +∞), х+5=8, множество истинности (3). Множество истинности высказывательной формы обозначают Т, Т Ì Х.

Слова «и», «или», «если…, то…», «тогда и только тогда, когда…», «не», «неверно, что…» называют логическими связками. Предложения, образованные из других предложений с помощью логических связок, называются составными. Предложения, не являющие составными, называются элементарными. Пример: «число 28 – четное и делится на 7». Чтобы определить значение истинности составного высказывания, надо знать смысл логических связок, с помощью которых оно образовано из элементарных, и умение выявлять логическую структуру высказывания.

Выражение «для всякого х» в логике называется квантором общности по переменной х (переменная может быть обозначена и другой буквой) и обозначается символом "х. Запись ("х) А(х) означает «для всякого значения х предложение А(х) – истинное высказывание». Иногда эту запись дополняют обозначением множества Х, на котором задана высказывательная форма А(х), и тогда предложение ("хÎХ) А(х) можно читать: а) для всякого х из множества Х истинно А(х);

б) всякий элемент из множества Х обладает свойством А.

Выражение «существует х такое, что…» в логике называется квантором существования по переменной х (переменная может быть обозначена и другой буквой) и обозначается символом $х. Запись ($х) А(х) означает: «существует такое значение х, что А(х) - истинное высказывание». Иногда эту запись дополняют обозначением множества Х, на котором задана высказывательная форма А(х), и тогда предложение ($хÎХ) А(х) можно читать: а) существует такое х из множества Х, что истинно А(х);

б) хотя бы один элемент х из множества Х обладает свойством А.

Примеры: «Произведение двух любых последовательных натуральных чисел кратно 2» - квантор общности. «Некоторые нечетные числа делятся на 5» - квантор существования.

Дата добавления: 2014-01-20