Тождественное преобразование выражений

Определение: Два выражения с переменными называются тождественно равными, если при любых значениях переменных из области определения выражений их соответственные значение равны.

Пример: 5(х +2) и 5 х +10 – тождественно равные выражения, так как при любых значения «х» их значения равны. Если два тождественно равных на некотором множестве выражения соединить знаком равенства, то получим предложение, которое называют тождеством на этом множестве. Например: 5(х +2)=5 х +10 – тождество на множестве действительных чисел потому, что для всех действительных чисел значения выражений 5(х +2) и 5 х +10 совпадают.

Замена выражения другим, тождественно равным ему на некотором множестве, называется тождественным преобразованием данного выражения на этом множестве. Так, заменив выражение 5(х+2) на тождественно равное ему выражение 5х+10, мы выполняем тождественное преобразование первого выражения. В начальном курсе математики выполняют, как правило, только тождественные преобразования числовых выражений. Теоретической основой таких преобразований являются свойства сложения и умножения, различные правила: прибавление суммы к числу, числа к сумме, вычитание числа из суммы и другие.

Например, чтобы найти произведение 35•4 можно выполнить преобразование: 35•4=(30+5)•4=30•4+5•4= 120+20=140. Числовые равенства и неравенства, их основные свойства.

Числовые равенства

Числовые неравенства

Пусть f и g – два числовых выражения. Соединим их знаком равенства. Получим выражение f=g, которое называют числовым равенством. Например: выражения 3+2 и 6–1 соединим знаком равенства 3+2=6–1, оно истинно. Если же соединить знаком равенства выражения 3+2 и 7–3, то получим ложное числовое равенство 3+2=7–3. Таким образом, с логической точки зрения, числовое равенство – это высказывание, истинное или ложное. Числовое равенство истинно, если значение числовых выражений стоящих в левой и правой частях равенства, совпадают. Свойства числовых равенств (истинных): 1. Если к обеим частям истинного числового равенства прибавить одно и то же числовое выражение, имеющее смысл, то получим так же истинное числовое равенство. 2. Если обе части истинного числового равенства умножить на одно и то же числовое выражение, отличное от нуля и имеющие смысл, то получим так же истинное числовое равенство.

Пусть f и g – два числовых выражения. Соединим их знаком «>» (или «<»). Получим предложение f>g (или f<g), которое называется числовым неравенством. Например, если соединить выражения 6+2 и 13–7 знаком «>», то получим истинное числовое неравенство 6+2>13–7. Если соединить те же выражения знаком «<», то получим ложное числовое неравенство 6+2<13–7. Таким образом, с логической точки зрения, числовое неравенство – это высказывание, истинное или ложное. Свойства числовых неравенств: 1. Если к обеим частям истинного числового неравенства прибавить одно и то же числовое выражение, имеющее смысл, то получим так же истинное числовое неравенство. 2. Если обе части истинного числового неравенства умножить на одно и то же числовое выражение, отличное от нуля, имеющее смысл и принимающее положительное значение, то получим так же истинное числовое неравенство того же смысла. 3. Если обе части истинного числового неравенства умножить на одно и то же числовое выражение, отличное от нуля, имеющее смысл и принимающее отрицательное значение, то получим так же истинное числовое неравенство, но обратного смысла.

Данный вопрос начинает изучаться в традиционной образовательной системе (1-4) в 1-ом классе. Вводятся термины «выражение», «значение выражения». Помимо терминологии, дети усваивают и некоторые элементы математической символики: знаки действий (+, –), знаки отношений (<, >, =); они учатся читать и записывать простейшие числовые выражения вида 5+4, 7–2, а так же более сложные выражения вида 6+(6–2). На изучение этого вопроса программой отводится около 20 часов. Вместо привычного «решения примера» в речи учителя и учащихся звучит: «найдем значение выражений», «сравним выражения» и т. п.

В программе предусмотрено ознакомление с некоторыми свойствами арифметических действий и основанными на них приемами вычислений. Так, в теме «числа от единицы до десяти» дети знакомятся с переместительным свойством сложения, учатся пользоваться приемом перестановки слагаемых в тех случаях, когда его применение облегчает вычисления (например, в случаях вида 2+7, 1+6 и т.п.). На основе практических действий с предметами учащиеся знакомятся с тем, что прибавить или вычесть число можно по частям (например, 6+3=6+2+1; 6–3=6–2–1). Таким образом учащиеся практически знакомятся с сочетательным свойством сложения, которое во II ^ом классе будет специально рассмотрено и сформулировано. Ознакомление со связью между сложением и вычитанием дает возможность находить разность, опираясь на знание состава чисел и соответственных случаев сложения.

Для формирования навыков быстрых вычислений важно обеспечить своевременный переход от развернутого объяснения решения ко все более лаконичным устным пояснениям, а затем – к выполнению действий без пояснений. 11–7

1 этап: Заменю 7 суммой удобных слагаемых 1 и 6. Вычту 11–1=10, 10–6=4

2 этап: 11–1-6=4

3 этап: 11–7=4

Дата добавления: 2014-01-20