Косвенные измерения при линейной зависимости между ар­гументами

Линейная функциональная зависимость является про­стейшей формой связи между измеряемой величиной и находимы­ми посредством прямых измерений аргументами. Она может быть выражена формулой

,

где b_i – постоянный коэффициент i -го аргумента Q_i; m – число аргументов. Погрешности линейных косвенных измерений оцени­ваются методом, основанным на раздельной обработке аргумен­тов и их погрешностей.

Если коэффициенты b_i определяют экспериментально, то на­хождение результата измерения величины Q производится по­этапно. Сначала оценивают каждое слагаемое b_i; Q_i как косвенно измеряемую величину, полученную в результате произведения двух измеряемых величин, а потом находят оценку измеряе­мой величины Q. Результат косвенного измерения определяют по формуле

где – оценка результата измерений аргумента Q_i, получаемая, как правило, посредством обработки результатов многократных прямых измерений каждого из аргументов. При несмещенности и состоятельности результатов полученная оценка результата из­мерения будет также несмещенной и состоятельной. Поскольку дисперсия результата измерения

то, если результаты обладают минимальной дисперсией, т.е. являются эффективными, оценка результата измерения также будет эффективной.

При отсутствии корреляционной связи между аргументами СКО результата косвенного измерения S(), обусловленное случайны­ми погрешностями, вычисляется по формуле

(9.2)

где S() – среднее квадратическое отклонение результата изме­рения аргумента Q_i, рассчитываемое по формуле

При наличии корреляционной связи между аргументами СКО результата косвенного измерения

Здесь – несмещенная оценка коэффициента корреляции меж­ду погрешностями аргументов Q_k и Q_l:

где Q_{k i} и Q_li – i -е результаты прямых измерений k -го и l -го аргумен­тов; n – число прямых измерений аргументов.

Корреляция между аргументами чаще всего возникает в тех слу­чаях, когда их измерения проводятся одновременно и подвергаются одинаковому влиянию внешних условий (температуры, влажности, напряжения питающей сети, помех и т.п.). Критерием отсутствия свя­зи между двумя аргументами является выполнение неравенства

где t_q – коэффициент Стьюдента, соответствующий уровню значимости q и числу степеней свободы n –2. Необходимо прове­рить отсутствие корреляционных связей между всеми парными сочетаниями аргументов.

Моделью для распределения результатов измерений отдельных аргументов обычно можно считать случайную величину с нормаль­ным распределением. Для распределений, отличных от нормально­го, распределение среднего арифметического при этом все же мож­но считать нормальным.

Случайную погрешность результата косвенного измерения, образующуюся путем сложения случайных погрешностей результатов определения многих аргументов, еще с большим основанием можно считать нормально распределенной случайной величиной. Это дает возможность найти доверитель­ный интервал для значения измеряемой величины.

При большом числе измерений (более 25), выполненных при нахождении каждого из аргументов, доверительную границу слу­чайной погрешности результата косвенного измерения можно оп­ределить по формуле

где z_Р – квантиль нормального распределения, соответствующий выбранной доверительной вероятности Р.

При меньшем числе измерений для определения доверительного интервала используется распределение Стьюдента, число степеней свободы которого рассчитывается по приближенной формуле

где n_i – число измерений при определении аргумента Q_i. В этом случае при условии, что распределение погрешностей результатов измерения аргументов не противоречит нормальному распределе­нию, доверительная граница случайной погрешности результата косвенного измерения

где t_p – коэффициент Стьюдента, соответствующий доверитель­ной вероятности Р=1–q и числу степеней свободы f.

Систематическая погрешность результата косвенного измерения определяется систематическими погрешностями результатов измере­ний аргументов. При измерениях последние стремятся исключить. Однако полностью это сделать не удается, всегда остаются не исклю­ченные систематические погрешности, которые рассматриваются как реализации случайной величины, имеющей равномерное рас­пределение. Такое предположение приводит обычно к достаточно осто­рожным заключениям о погрешности результатов косвенных измере­ний.

Доверительные границы неисключенной систематической по­грешности результата линейного косвенного измерения θ(Р) в слу­чае, если не исключенные систематические погрешности аргумен­тов заданы границами θ_i, вычисляют по формуле:

(9.3)

где k – поправочный коэффициент, определяемый принятой дове­рительной вероятностью Р и числом m составляющих θ_i. Его зна­чения приведены в табл. 9.1. Погрешность от применения этих усредненных коэффициентов не превышает 10%.

Таблица 9.1- Значения коэффициентов k при m <4

P	0,90	0,95	0,98	0,99
K	0,95	1,1	1,3	1,4

Если число суммируемых слагаемых m4 и они значительно различаются между собой, то значение коэффициента k: определяется по табл. 9.2. Под L здесь понимают от­ношение наибольшей длины интер­вала (b_iθ_i)_max одного из слагаемых к длине b_iθ_i остальных слагаемых.

Если границы не исключенных систематических погрешно­стей результатов измерений аргументов заданы их доверительны­ми границами θ_i(P_i), соответствующими вероятностям Р_i, то гра­ницу θ(Р) определяют по формуле.

Таблица 9.2-Значения коэффициентов k при m = 2,3,4

L	P = 0,98	P = 0,99
m = 2	m =3	m = 4	m = 2	m = 3	m = 4
	1,22	1,28	1,30	1,28	1,38	1,41
	1,16	1,23	1,26	1,22	1,31	1,36
	1,11	1,17	1,20	1,16	1,24	1,28
	1,07	1,12	1,15	1,12	1,18	1,32
	1,05	1,09	1,12	1,09	1,14	1,18

Коэффициенты определяются так же, как по­правочный ко­эффициент k.

Суммарная погрешность ре­зультата кос­венного измере­ния оценивается на основе компо­зиции распреде­лений случайных и неисключенных систематических погрешностей. Формулы для ее расчета в зависимости от соотношения границ не­исключенной систематической составляющей и СКО случайной со­ставляющей погрешности приведены в табл. 9.3.

Таблица 9.3 - Погрешность результата косвенных измерений Δ(Р)

Значение	Погрешность результата измерения Δ(Р)
<0,8	ε(P)
0,88	Kp[ε(P)+θ(P)]
>8	θ(P)

Коэффициент k_р определяется по таблице 9.4:

Таблица 9. 4 - Зависимость k_Р от отношения θ(Р)/S() при различной доверительной вероятности

	0,5	0,75
k0,05	0,81	0,77	0,74	0,71	0,73	0,76	0,78	0,79	0,80	0,81
K0,99	0,87	0,85	0,82	0,80	0,81	0,82	0,83	0,83	0,84	0,85

Результаты косвенных измерений должен записываться в виде х ± Δ(Р) при доверитель­ной вероятности Р.

Дата добавления: 2014-01-20