Основные методы интегрирования

К основным методам интегрирования относятся: метод замены переменной и метод интегрирования по частям.

Метод замены переменной (метод подстановки)

1. Метод подведения по знак дифференциала – частный случай метода замены переменной. Данный метод прост и применяется в большом количестве интегралов.

В основе данного метода лежит свойство инвариантности формул интегрирования, которое гласит: если то где произвольная дифференцируемая функция от x.

Рассмотрим один из табличных интегралов По свойству 6 эта формула остается справедливой не только в случае, когда x –независимая переменная, но и тогда, когда вместо x стоит некоторая дифференцируемая функция. Например,

Аналогичная ситуация имеет место и для других формул:

Пример 7.3. Вычислить интеграл

Решение. Что мешает применить степенной интеграл (1) для Понятно, что если бы под знаком дифференциала стояло выражение , а не x, то такой интеграл был бы табличным. Вопрос: возможно ли заменить на Ответ – да, по свойству дифференциала: На основании этого свойства

Значит,

Пример 7.4. Вычислить интеграл

Решение. Для применения табличной формулы степенного интеграла при необходимо, чтобы под знаком дифференциала стояло выражение вместо x. Вопрос: возможно ли заменить на Ответ– да, по свойству дифференциала: или

На основании свойств дифференциала . Следовательно В рассмотренных выше примерах дифференциал изменялся на основании его свойств, т.е. вместо под знак дифференциала подводилась некоторая линейная функция вида , где и некоторые числа, причем . Обобщим это в виде теоремы.

Теорема 8.2. Пусть одна из первообразных для . Тогда где и некоторые числа, причем .

Доказательство. Для доказательства равенства возьмем производную от правой части формулы(..) и покажем, что она равна подынтегральной функции:

Теорема доказана.

При сведении интеграла к табличному часто используются следующие преобразования дифференциала – «подведение под знак дифференциала».

Пример 8.1. Найти интегралы а) б)

Решение. а) Подведем функцию под знак дифференциала. Имеем:

б) Подведем функцию под знак дифференциала. Имеем:

Итак, цель метода подведения под знак дифференциала состоит в видоизменении дифференциала, стоящего под интегралом, за счет использования свойств дифференциала.

2. Метод подстановки или метод замены переменной. Суть этого метода заключается в том, путем введения новой переменной интегрирования удается вести данный интеграл к новому интегралу, который сравнительной легко вычисляется непосредственно. Метод замены переменной основан на следующей теореме.

Теорема 8.3. Пусть функция определена и дифференцируема на промежутке . Тогда если первообразная для на , то выполняется равенство

Даная теорема называется формулой замены переменной в неопределенном интеграле.

Замечание 1. В практике интегрирования применяются подстановки вида , т.е. новая переменная интегрирования вводится как некоторая функция переменной х.

Замечание 2. При нахождении интеграла методом замены переменной необходимо в полученном после интегрирования результате обязательно вернуться к старой переменной.

Пример 8.3. Найти интеграл

Решение. Введем новую переменную Такая замена обусловлена попыткой избавиться от корня в знаменателе подынтегрального выражения.

Теперь необходимо перейти к старой переменной x. Для этого в последнее выражение подставим окончательно имеем

Удачная замена переменной позволяет упростить исходный интеграл и свести его к табличному.Полезно запомнить следующие подстановки:

Число замен, которые могут быть применены при вычислении неопределенных интегралов велико и, конечно, обо всех рассказать не представляется возможным.

Метод интегрирования по частям

Пусть функции и имеют непрерывные производные на промежутке

Найдем дифференциал произведения этих функций:

Поэтому, получим или

Проинтегрируем обе части последнего равенства, получим

,

по свойству неопределенного интеграла?номер

Эта формула называется формулой интегрирования по частям и составляет основу метода интегрирования по частям. Суть данного метода состоит в том в том, что при нахождении интеграла подынтегральное выражение представляют в виде произведения множителей и , при этом обязательно входит в . Затем находят интегралы и Естественно, что этот метод применим лишь в случае, если задача нахождения указанных интегралов более проста, чем задача нахождения заданного интеграла.

Пример 8.5. Найти интеграл

Решение. Применим к данному интегралу формулу интегрирования по частям, для этого за u обозначим x, а все остальное за . Получим

Заметим, что при нахождении v достаточно найти какую-нибудь одну из первообразных. Удобно считать C= 0.

Замечание.. Интегрирование по частям можно применять последовательно несколько раз в одном и том же примере.

Замечание. При вычислении интегралов методом интегрирования по частям главным является разумное разбиение подынтегрального выражения на множители и .

Замечание. Существуют целые классы интегралов, которые вычисляются с помощью формулы интегрирования по частям. Приведем ряд интегралов, которые находятся этим методом.

Рассмотрим интеграл вида

1. Пусть многочлен степени n, а одна из следующих функций: т.е.

(число).

Рекомендуют положить и применить метод n раз.

Пример 8.6. Вычислить

Решение. Пусть многочлен степени n, а одна из следующих функций: т.е.

.

Рекомендуют положить

Пример 8.7. Вычислить

Решение.

3. Пусть , а одна из следующих функций: т.е. .

Возможно любое разбиение, при этом формула интегрирования по частям будет применяться дважды. Затем получим уравнение, в котором в качестве неизвестного выступает вычисляемый интеграл.

Дата добавления: 2014-01-20