Интеграл с переменным верхним пределом

Одним из важных понятий для непрерывных и интегрируемых на сегменте [a,b] функций является понятие интеграла с переменным верхним пределом, используя которое, можно получить основную формулу интегрального исчисления - формулу Ньютона-Лейбница.

Определение. Пусть функция f(x) интегрируема на любом сегменте [a,b]Î(a,b) и пусть c - некоторая фиксированная точка, принадлежащая интервалу (a,b), тогда, каково бы ни было число хÎ(a,b), функция f(x) интегрируема на [c,x], и на интервале (a,b) определена функция , которая называется интегралом с переменным верхним пределом.

Теорема. Любая непрерывная на интервале (a,b) функция f(x) имеет на этом интервале первообразную. Одной из первообразных является функция , где с - любая фиксированная точка интервала (a,b).

Достаточно доказать, что для (Dх берем таким, чтобы (х+Dх)Î(a,b)). Рассмотрим разность

где x - некоторое число, заключенное между х и х+Dх (Здесь было использовано свойство 6 определенного интеграла и первая формула среднего значения для непрерывной на сегменте функции).

Так как f(x) непрерывна в точке х, то при Dх®0 f(x)®f(x), и поэтому .

Замечание 1. Аналогично доказывается теорема для непрерывной на сегменте [a,b] функции f(x). В этом случае в качестве с можно взять точку а и .

Замечание 2. Мы показали, что .

Дата добавления: 2014-01-20