КАТЕГОРИИ: Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748) |
Однородного стержняЧастоты собственных продольных колебаний и удар Система (13.1) после дифференцирования по z второго уравнения и подстановки первого уравнения дает . Уравнение линейно и его решение - сумма общего решения однородного уравнения и частного решения уравнения с правой частью. Здесь основным является решение однородного уравнения. Ограничимся им. Представим решение в виде и подставим в однородное уравнение. Получаем , и, после преобразования (разделения переменных), , поскольку функции разных независимых переменных могут быть равны только в случае их равенства константе. Эта константа обозначена и выбрана отрицательной, так как решение должно удовлетворять граничным условиям. Пояснения (**) ниже. Также введено обозначение . Как известно из физики а - скорость распространения упругих волн в стержне. В этом нетрудно убедиться, так как удовлетворяет однородному уравнению. Система распадается на два обыкновенных дифференциальных уравнения и , решение которых , , должно удовлетворять граничным и начальным условиям задачи. Например, после удара стержня о стенку граничные условия: , , откуда из основного свойства линейных уравнений – сумма решений есть решение- . Частоты собственных колебаний определены: . ** При выборе положительной константы удовлетворить условиям на правом конце не удается. Для определения амплитуд Аn, Bn необходимо удовлетворить начальным условиям: Для определения применим прием, приведший к разработке рядов Фурье. Умножим обе части последнего выражения на и проинтегрируем по длине стержня . (*) Сумма интегралов в левой части (*) равна , т.к. после элементарных преобразований (***) легко убедится, что при , а при . Интеграл в правой части (*) равен .
*** Только при , раскрывая неопределенность типа 0/0, получаем , в остальных случаях синус аргумента, пропорционального , равен нулю. Окончательно из (*) получаем . Соответственно , напряжения . Максимальные напряжения при ударе о жесткую стенку упругого стержня, летящего со скоростью V, получим при , т.е. . Это точное решение. Для сравнения в одномассовой системе получаем при массе, сосредоточенной в центре стержня, , и расчет по одномассовой схеме дает запас . В качестве спецзадания предлагается провести расчет по двухмассовой схеме. Здесь запас будет меньше, но будет. Частота собственных колебаний в одномассовой постановке , т.е. меньше точного решения. Подтверждается закономерность, подмеченная при сравнении одномассовой и двухмассовой моделей. Вообще, расчет удара по конечномассовой схеме всегда дает запас, но тем меньше, чем выше порядок системы, а частоты приближаются к точным по мере повышения числа степеней свободы.
Дата добавления: 2014-01-20; Просмотров: 427; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы! Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет |