Вычисление двойного интеграла сведением к повторному

Вычисление двойных интегралов

Двойной интеграл – новый объект и мы укажем способ его вычисления сведением к повторному вычислению определённого интеграла. Сначала рассмотрим двойной интеграл по прямоугольной области стороны которой параллельны осям координат.

Теорема 1.3. Пусть для функции существует двойной интеграл по области. Кроме того, пусть для любого существует.

Тогда существует и интеграл, называемый повторным:

и выполняется равенство

(2)

► Разобьём прямоугольник на прямоугольники, обозначенные, прямыми, проходящими параллельно оси через точки и прямыми, параллельными оси и проходящими через точки Таким образом,

Пусть, числа и, соответственно, равны нижней и верхней граням функции на откуда Проинтегрируем эти неравенства по на отрезках:

Суммируя эти неравенства по от до, получаем.

Умножим все части этих неравенств на и суммируем полученные неравенства по от до:

.

Поскольку, эти неравенства можно переписать в виде

или

,

где – разбиение на прямоугольники При стремится к нулю и величина. Кроме того, при также. Значит, интеграл существует и равен, что и утверждалось. ◄

Замечания.

1. В случае, когда непрерывна на все условия теоремы выполняются и равенство (2) справедливо.
2. Сравните эту теорему с теоремой из приложения 1.Отметим, что интеграл представляет собой собственный интеграл, зависящий от параметра.

Рассмотрим случай криволинейной трапеции. Справедлива такая теорема:

Теорема 1.4 (Фубини). Пусть область задана неравенствами, где. Пусть существует и для любого существует. Тогда существует интеграл и он равен.

► Так как непрерывна на, существует её минимальное значение на этом отрезке. Аналогично, существует мак в прямоугольник, состоящий из точек,,. На этом прямоугольнике рассмотрим функцию

Условия предыдущей теоремы для функции, выполнены. Она интегрируема в, равна 0 (и, значит, интегрируема) в. Следовательно, она интегрируема на всём множестве. При этом

.

Наконец, для любого выполнено равенство

.

По доказанному в предыдущей теореме,

,

Откуда сразу получаем:

,

что и требовалось доказать.◄

Следствие: Пусть) непрерывна в области, ограниченной сверху графиком функции, снизу -, где, a по бокам - отрезками вертикальных прямых х = а и х = b. Тогда

.

► Из непрерывности сразу следует её интегрируемость на. Кроме того, для любого функция непрерывна (а, значит интегрируема по у). Все условия теоремы выполнены. ◄

Замечание. Если область можно ограничить так:
,, то

.

Смысл этих теорем ясен – указан способ сведения двойного интеграла к собственным интегралам, зависящим от параметра.

Дата добавления: 2014-01-11