Матричные игры

Лекция 12

Тема: “ Теория игр. Матричные игры”

Теория игр – это раздел математики, изучающий методы анализа и оценки конфликтных ситуаций.

Ситуация называется конфликтной, если в ней участвуют стороны, интересы которых полностью или частично противоположны.

Опишем некоторые основные понятия, используемые в теории игр.

Игра – это действительный или формальный конфликт, в котором имеется по крайней мере два участника (игрока), каждый из которых стремится к достижению собственных целей.

Допустимые действия каждого из игроков, направленные на достижение некоторой цели, называются правилами игры.

Ходом называется выбор одного из предложенных правилами игры действий и его осуществление.

Любое возможное для игрока действие (в рамках заданных правил игры) называется его стратегией.

Стратегия игрока называется оптимальной, если при многократном повторении игры она обеспечивает игроку максимально возможный средний выигрыш (минимально возможный средний проигрыш).

В каждой партии игрок выбирает некоторую свою стратегию, в результате чего складывается набор стратегий, называемый ситуацией.

В зависимости от числа возможных стратегий игры делятся на конечные и бесконечные.

Заинтересованность игроков в ситуации проявляется в том, что каждому игроку в каждой ситуации приписывается число, выражающее степень удовлетворения его интересов в этой ситуации и называемое его выигрышем в ней.

Задача теории игр состоит в выборе такой линии поведения игрока, отклонение от которой может лишь уменьшить его выигрыш.

Один из самых простых и одновременно наиболее изученных классов игр – матричные игры.

Рассмотрим игру, в которой участвуют два игрока, причём каждый из игроков имеет конечное число стратегий. Обозначим одного из игроков через А, а другого – через В. Предположим, что игрок А имеет m стратегий - , а игрок В имеет n стратегий - .

Пусть игрок А выбрал стратегию , а игрок В – стратегию . Будем считать, что выбор игроками стратегий и однозначно определяет исход игры – выигрыш игрока А и выигрыш игрока В, причём эти выигрыши связаны равенством

(1)

(отрицательный выигрыш обычно называют проигрышем).

Парная игра называется игрой с нулевой суммой, если сумма платежей равна нулю, т.е. если проигрыш одного игрока равен выигрышу второго (имеет место равенство (1)).

При анализе такой игры можно рассматривать выигрыши только одного из игроков. Пусть это будут выигрыши игрока А.

Значения выигрыша при каждой паре стратегий (в каждой ситуации) {,}, i= 1, 2, …, m; k = 1, 2, …, n (если они известны), удобно записывать в виде матрицы

Полученная матрица имеет размер и называется матрицей игры, или платёжной матрицей. Строки матрицы А соответствуют стратегиям первого игрока, а столбцы – стратегиям второго.

Матричные игры относятся к разряду так называемых антагонистических игр, то есть игр, в которых интересы игроков прямо противоположны.

Пример 1. Каждый из двух игроков А и В одновременно и независимо друг от друга записывает на листе бумаги любое целое число. Если выписанные числа имеют одинаковую чётность, то игрок А получает у игрока В один рубль, а если разную, то наоборот – игрок А платит один рубль игроку В.

У игрока А две стратегии: – «записать чётное число» и - «записать нечётное число». У игрока В две такие же стратегии: – «записать чётное число» и - «записать нечётное число». Выбор игроками соответственно стратегий и однозначно определяет исход игры – выигрыш игрока А. Матрица этой игры имеет следующий вид

(здесь строки соответствуют стратегиям игрока А, а столбцы – стратегиям игрока В).

Дата добавления: 2014-01-11