Коэффициент распространения

Коэффициент фазы и коэффициент ослабления объединяют в единую комплексную величину – коэффициент распространения.

(4.12)

Такой, что амплитуда поля плоской волны, распространяющейся в сторону возрастания координаты , имеет вид:

(4.13)

Комплексная амплитуда волны, бегущей в сторону уменьшения координаты , такова:

(4.14)

Когда отсутствуют потери и амплитуда поля постоянна вдоль , коэффициент распространения оказывается чисто мнимым. Возможен и другой случай, когда коэффициент распространения чисто действительный . При этом волновой процесс практически не существует, т. к. колебания происходят с одной и той же фазой, отличаясь амплитудами. Покажем, что одним их частных решений уравнений Максвелла в неограниченном пространстве служат однородные плоские волны. Рассмотрим бесконечное трехмерное пространство с заданными электродинамическими параметрами , , одинаковыми во всех точках. Предположим, что свободные электрические заряды отсутствуют, так что их объемная плотность. Электромагнитный процесс, гармонически изменяющийся во времени с частотой , характеризуется комплексными амплитудами полей и , которые удовлетворяют системе уравнений Максвелла:

1.

2. (4.15)

3.

4.

Преобразуем систему (4.15) таким образом, чтобы свести ее к эквивалентному уравнению относительно комплексной амплитуды вектора напряженности электрического поля. Для этого применим дифференциальную операцию к обеим частям уравнения 2, а затем воспользуемся выражением из левой части уравнения 1:

(4.16)

Примем во внимание, что или в силу уравнения 3 . Тогда уравнение (4.16) приведется к виду:

(4.17)

Это уравнение получило название уравнения Гельмгольца в честь немецкого физика Германа Гельмгольца. Введем параметр , в общем случае комплексный, удовлетворяющий соотношению:

(4.18)

– представляет собой коэффициент распределения плоской волны. Уравнение Гельмгольца приобретает при этом вид:

(4.19)

Относительно амплитуды вектора напряженности магнитного поля

(4.20)

Уравнения (4.19) и (4.20) являются однородными (с нулевой правой частью) векторными уравнениями второго порядка. Каждое из них эквивалентно трем дифференциальным уравнениям частных производных относительно декартовых проекций комплексных амплитуд векторов поля. Представим (4.19) в развернутой форме:

(4.21)

Решение данной системы относительно трех неизвестных функций , , , каждая из которых в свою очередь зависит от трех пространственных координат , описывает в общем случае поле с весьма сложной пространственной конфигурацией.

Упрощая задачу, будем считать, что:

1) Проекция , в то время, как .

2) Отличная от нуля проекция зависит лишь от координаты (для конкретности), так, что .

В данном частном случае система (4.21) сводится к одному дифференциальному уравнению второго порядка уже не в частных производных, а в относительных, т. к. на основании предположения 2 производную следует заменить на

(4.22)

Общее решение этого дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами представляет собой сумму двух экспоненциальных слагаемых:

, (4.23)

где , – корни уравнения (4.18).

Изучив расположение корней на комплексной плоскости, получим:

(4.24)

Сравнивая эту формулу с выражениями (4.13) и (4.14) приходим к выводу о том, что полученное здесь частное решение уравнения Гельмгольца описывает однородные плоские волны. Первому слагаемому правой части отвечает плоская электромагнитная волна, распространяющаяся в сторону уменьшения . Второе – описывает такую же волну, бегущую в сторону возрастания . Эти волны ничем не связаны между собой, так как им соответствуют два линейных независимых решения дифференциального уравнения (4.22).

4.4 ПОНЯТИЕ ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ

Найдя комплексную амплитуду вектора напряженности электрического поля в виде (4.24), можно определить комплексную амплитуду вектора напряженности магнитного поля, воспользовавшись уравнением 2 из системы (4.15):

(4.25)

Рассмотрим волну, распространяющуюся в сторону и характеризующуюся комплексной амплитудой.

Представим в виде:

Раскрывая символический определитель по элементам первой строки, убеждаемся, что или подставив величину g:

(4.27)

Отсюда можно сделать ряд существенных выводов:

1. Если вектор ориентирован вдоль оси , то вектор направлен вдоль оси у, т. е. в однородной плоской волне векторы и перпендикулярны.

2. Оба вектора и перпендикулярны оси распространения, поэтому однородная плоская электромагнитная волна является поперечной волной.

3. Значения комплексных амплитуд векторови в любой точке пространства связаны некоторым коэффициентом пропорциональности.

На основании последнего из перечисленных свойств в электродинамике вводят понятие характеристического (волнового) сопротивления той физической среды, в которой распространяются однородные плоские волны.

По определению характеристическое сопротивление равно отношению комплексных амплитуд, соответствующих проекции векторов напряженности электрического и магнитного поля

(4.28)

Так как , , то характеристическое сопротивление .

(4.29)

Сопротивление – коэффициент пропорциональности, не связанный с тепловыми потерями в среде.

4.5 ПЛОТНОСТЬ ПОТОКА МОЩНОСТИ В ПЛОСКОЙ ВОЛНЕ

Плотность потока мощности плоской электромагнитной волны равна среднему за период значению вектора Пойтинга:

(4.30)

Этот вектор ориентирован вдоль оси распространения волны.

Плотность потока мощности в однородной плоской волне можно выразить не через обе полевые величины , , а только через одну. Для этого стоит воспользоваться соотношением (4.28).

(4.31)

(4.32)

Повторяя проведенные ранее выкладки, убеждаемся, что для электромагнитной волны, распространяющейся в сторону и имеющей комплексную амплитуду вектора напряженности электрического поля , комплексная амплитуда -й проекции вектора напряженности магнитного поля:

(4.33)

откуда

(4.34)

Дата добавления: 2014-01-11