Макроскопическая работа как функция процесса

Рассмотрим сжатие идеального газа, находящегося под поршнем (рис. 4.1). Под действием внешней силыпереместим поршень на бесконечно малую величину , настолько малую, что будем считать силу постоянной. Назовём работу постоянной силы по перемещению поршня на бесконечно малую величину элементарной работой и обозначим . Элементарная работа может быть определена как работа постоянной силы через скалярное произведение силы на перемещение:

(4.6)

Поскольку направление силы и перемещения совпадают, то . Газ, находящийся под поршнем, препятствует сжатию и давит на поршень силой , равной по величине, противоположной по направлению и приложенной к поршню (рис.4.1). Элементарная работа самого газа . Так как сила и перемещение направлены в противоположные стороны, работа самого газа при равномерном сжатии отрицательна и равна по величине работе внешней силы, сжимающей газ . Сила, действующая на единицу площади поверхности поршня S со стороны газа, есть давление газа Р. Поэтому можно выразить величину силы через давление: . Тогда элементарная работа газа будет равна: . Но есть величина приращения объёма газа. Тогда элементарная работа газа равна:

, (4.7)

а работа внешней силы по сжатию газа равна .

Для определения работы по перемещению поршня на значительную величину , в результате которой объём газа изменяется на , нужно учесть процесс, происходящий с газом. Работу в этом случае определяют через интеграл:

(4.8)

Работа газа (или над газом) зависит от процесса (т.е. от последовательности промежуточных состояний) и поэтому является функцией процесса. Работа не является полным дифференциалом, отсюда и обозначение элементарной работы , а не dA.

Рассмотрим работу, совершаемую газом, при различных процессах. Будем обозначать в дальнейшем элементарную работу газа просто через и считать её положительной, если газ расширяется (), и отрицательной, если газ сжимают ().

Рассмотрим изохорический процесс. При изохорическом процессе объём газа не изменяется, приращение объёма равно нулю, следовательно, работа газа равна нулю.

Поскольку работу в любом случае можно определить, пользуясь формулой (4.8), для математической интерпретации работы удобно изображать любой процесс на диаграмме (P,V). Работа на такой диаграмме равна площади фигуры под кривой, изображающей тот или иной процесс, происходящий с газом.

Рассмотрим изобарический процесс (рис. 4.2). Используя формулу (4.8) найдём работу газа при переходе из состояния 1 в состояние 2: .

Так как для данного количества вещества давление остаётся постоянным при изобарическом процессе, то его можно вынести за знак интеграла, тогда получим:

. Обозначим . С учётом этой записи работа при изобарическом процессе определяется по формуле:

(4.9)

Используя рис. 4.2, можно записать работу через указанные параметры состояния: . Такую же формулу мы получим, находя площадь заштрихованного прямоугольника. Часто бывает удобно выражать работу через изменение температуры. Для этого нужно использовать уравнение состояния идеального газа (уравнение Менделеева – Клапейрона) для 1 и 2 состояний: и . Вычитая из второго уравнения первое, получим:

(4.10)

При изобарическом сжатии конечный объём меньше начального и работа газа отрицательна, то есть газ препятствует сжатию.

Формула (4.7) позволяет выразить физический смысл молярной постоянной R. Для одного моля вещества () работа определяется как . Отсюда ясен физический смысл R, которая определяется работой изобарического расширения одного моля идеального газа при изменении температуры на один кельвин.

Рассмотрим изотермический процесс (рис.4.3). При изотермическом процессе температура остаётся постоянной, а давление и объём связаны между собой обратно пропорциональной зависимостью. В этом случае, используя формулу (4.8) для определения работы, уже нельзя вынести давление за знак интеграла. Давление выразим из уравнения Менделеева – Клапейрона: . Подставим правую часть этого уравнения в (4.8) и вынесен за знак интеграла все постоянные:

. Учитывая, что разность логарифмов есть логарифм отношения, получим:

(4.11)

Используя закон Бойля- Мариотта: , можем выразить работу и через отношение давлений:

(4.12)

Рассмотренные примеры подтверждают, что работа является функцией процесса. Следует отметить ещё один важный факт. С точки зрения математики функция процесса не является полным дифференциалом, а функция состояния – является полным дифференциалом. Поэтому для обозначения элементарной работы был использован знак а не d – знак полного дифференциала.

Дата добавления: 2014-01-11