Интегральный признак Коши-Маклорена

Пусть функция , определённая для , непрерывная, положительная и монотонно убывающая. Тогда, если функция при имеет конечный предел, то ряд сходится. Если же , то этот ряд расходится.

Доказательство

Так как , то первообразная является функцией возрастающей. Рассмотрим ряд , его частичная сумма равна . Если при , то этот ряд расходится, если же , то существует конечный предел и рядсходится.

Применим признак сравнения к ряду и ряду . По формуле конечных приращений Лагранжа имеем: , , что вследствие монотонного убывания влечёт . Из полученного неравенства следует: 1) в случае сходимости ряда по первому признаку сравнения сходится ряд , а значит и исходный ряд; 2) если же ряд расходится, то и ряд расходится согласно первому признаку сравнения.

Замечание! Если неотрицательная функция убывает при , то к ряду также можно применять интегральный признак, отбросив первые членов, что не скажется на сходимости.

Пример. Исследовать на сходимость обобщённый гармонический ряд .

Так както Следовательно, ряд сходится, если и расходится, если .

Успех использования признаков сравнения зависит от запаса «рядов сравнения», т.е. рядов, сходимость или расходимость которых установлена. Одним из самых эффективных рядов для сравнения является обобщённый гармонический ряд .

Признаки Даламбера и Коши, как следует из их доказательства, основаны на сравнении испытуемого ряда с геометрической прогрессией. При и , когда данные признаки не дают ответа, приходится прибегать к более сложным признакам, где испытуемый ряд сравнивается с рядами, «медленнее» сходящимися или «медленнее» расходящимися, чем геометрическая прогрессия. Признак Раабе сравнивает данный ряд с обобщённым гармоническим рядом.

Дата добавления: 2014-01-11